| 8406202 9216 1210 912 1. и. м. использовался гл. обр. для решения сложных задач теории переноса излучения и нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Затем его влияние распространилось на больший класс задач статистич. физики, очень разных по своему содержанию. С. и. м. применяется для решения задач теории игр, теории массового обслуживания и математич. экономики, задач теории передачи сообщений при наличии помех и т. д. Для решения детерминированной задачи по С. и. м. прежде всего строят вероятностную модель, представляют искомую величину, напр, многомерный интеграл, в виде математич. ожидания функционала от случайного процесса, к-рый затем моделируется на ЭВМ. Хорошо известны вероятностные модели для вычисления интегралов, для решения интегральных уравнений 2-го рода, для решения систем линейных алгебраич. уравнений, для решения краевых задач для эллиптич. уравнений, для оценки собственных значений линейных операторов и т. д. Выбором вероятностной модели можно распорядиться для получения оценки с малой погрешностью. Особую роль в различных приложениях С. и. м. играет моделирование случайных величин с заданными распределениями. Как правило, такое моделирование осуществляется путём преобразования одного или нсск. независимых значений случайного числа а, распределённого равномерно в интервале (0,1). Последовательности "выборочных" значений [$\alpha$] обычно получают на ЭВМ с помощью теоретико-числовых алгоритмов, среди к-рых наибольшее распространение получил "метод вычетов". Такие числа наз. "псевдослучайными", они проверяются статистич. тестами и решением типовых задач. Если в расчёте по С. и. м. моделируются случайные величины, определяемые реальным содержанием явления, то расчёт представляет собой процесс "прямого моделирования". Такой расчёт неэффективен, если изучению подлежат редкие события, т. к. реальный процесс содержит о них мало информации. Эта неэффективность обычно проявляется в слишком большой величине вероятностной погрешности (дисперсии) случайных оценок искомых величин. Разработано много способов уменьшения дисперсии указанных оценок в рамках С. и. м. Почти все они основаны на модификации моделирования с помощью информации о "функции ценности" значений случайных величин относительно вычисляемых величин. С. и. м. оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие др. методов вычислительной математики (напр., на развитие методов численного интегрирования) и при решении MH. задач успешно сочетается с др. вычислит, методами и дополняет их. Более специальные математич. вопросы, связанные с С. и. м., см. в ст. Статистическое моделирование.
Лит.: Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, M., 1967; Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), M., 1962; Решение прямых и некоторых обратных задач атмосферной оптики методом Монте-Карло, Нопосиб., 1968; E р м ЕК о в С. M., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, M., 1971; M и х а и л о в Г. А., Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло, Новосиб., 1974. Г. И. Марчук.
СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИЯ, часть математической статистики и игр теории, позволяющая единым образом охватить такие разнообразные задачи, как статистическая проверка гипотез, построение статистических оценок параметров и доверительных границ для них, планирование эксперимента и др. В основе С. р. т. лежит предположение, что распределение вероятностей F наблюдаемой случайной величины Xr принадлежит пек-рому априори данному множеству [$\upsilon$] Осн. задача С. р. т. состоит в отыскании наилучшего статистич. решения или решающего правила (функции) а = d(x), позволяющего по результатам наблюдении х над X судить об истинном (но неизвестном) распределении F. Для сравнения достоинств различных решающих правил вводят в рассмотрение функцию потерь W[F,d(x)], представляющую убыток от принятия решения d(x) (из заданного множества D), когда истинное распределение есть F. Естественно было бы считать решающее правило d* = d*(x) наилучшим, если средний риск r(F,d*) = MFW[F,d(X)] (MF - усреднение по распределению F) не превышает r(F,d) для любого Fe g и любого решающего правила d = d(x). Однако такое "равномерно наилучшее" решающее правило в большинстве задач отсутствует, в связи с чем наибольший интерес в С. р. т. представляет отыскание т. н. минимаксных и бейесовских решений. Решение d = d(x) наз. минимаксным, если
[2433-17.jpg]
Решение d = а(х)наз. бейесовским (относительно заданного априорного распределения я на множестве Jf), если для всех решающих правил d
R ([$\pi$], d) <= R ([$\pi$], d), где
[2433-18.jpg]
между минимаксными и бейесовскими решениями существует тесная связь, заключающаяся в том, что в весьма широких предположениях о данных задачи минимаксное решение является бейесовским относительно "наименее благоприятного" априорного распределения [$\pi$].
Лит.: Вальд А., Статистические решающие функции, в сб.: Позиционные игры, M., 1967; Л е м а н Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., M., 1964.
A. H. Ширяев.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, численный метод решения математич. задач, при к-ром искомые величины представляют вероятностными характеристиками к.-л. случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки "наблюдений" модели. Напр., требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлич. пластине, на краях к-рой поддерживается нулевая темп-pa. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия). Поэтому моделируют плоское броуновское движение частиц "краски" по пластине, следя за их положениями в моменты k[$\tau$], k = 0, 1, 2, ... Приближённо принимают, что за малый интервал [$\tau$] частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между [$\tau$] и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание "краски" на край). Поток Q(C) тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве N частиц согласно больших чисел закону такая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка 1/корень N (и система-тич. ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).
Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции f от случайного исхода [$\omega$] явления: Ef ([$\omega$]) = интеграл f([$\omega$])dP, [$\tau$]. е. интегралом по вероятностной мере P (см. Мера множества'). На оценку Ef([$\omega$]) = [f([$\omega$]1)) + +... + f ([$\omega$]N)]/N, где [$\omega$]1, ..., [$\omega$]N - смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами сой и случайной погрешностью RN. Обычно принимают |RN| <=3 * кореньDfIN, считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дисперсия Df может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).
В разобранном выше примере f([$\omega$]) = = 1, когда траектория кончается на С; иначе f([$\omega$]) = О. Дисперсия Df = = [1-Q(C)]Q(C) <= 1/4. Интеграл берётся по пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.
Проведение каждого "эксперимента" распадается на две части: "розыгрыш" случайного исхода [$\omega$] и последующее вычисление функции f([$\omega$]). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера P слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, напр, генерируемых к.-л. физич. датчиком; употребительна также их арифметич. имитация - псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математич. статистике и теории игр.
С. м. широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, напр, при исследовании больших систем. Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного эксперимента.
Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), M., 1962; Ермаков С. M., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, M., 1971. H. H. Ченцов.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ, см. Выборочное наблюдение, Наблюдение сплошное.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ, совокупность способов, употребляемых в математической статистике для приближённого определения неизвестных распределений вероятностей (или к.-л. их характеристик) по результатам наблюдений. В наиболее распространённом случае независимых наблюдений их результаты образуют последовательность
X1, X2, ...,Xn, ... (1) независимых случайных величин (или векторов), имеющих одно и то же (неизвестное) распределение вероятностей с функцией распределения F(х). Ча |
