| 8406202 9216 1210 912 1ным путём. Первые таблицы с. ц. были составлены в 1927 в связи с нуждами матем. статистики (необходимостью случайного выбора при планировании эксперимента). В дальнейшем в связи с возникновением статистических испытаний метода были созданы специальные экспериментальные устройства -датчики или генераторы с. ч., основанные в большинстве случаев на использовании шумов радиоэлектронных приборов (см. Случайных чисел датчик).
С развитием метода статистич. испытаний также связано возникновение понятия псевдослучайных чисел (п. ч.). Последние можно получить путём вычислений по нек-рой заданной формуле (алгоритму), но их свойства должны быть близки к свойствам с. ч. Наиболее распространены алгоритмы, в к-рых каждое следующее число вычисляется по предыдущему. Получаемые таким образом последовательности п. ч. имеют период, что существенно отличает их от последовательностей с. ч. Алгоритмы получения п. ч. ещё недостаточно исследованы, но при вычислениях по методу статистич. испытаний отдаётся предпочтение п. ч., т. к. свойства последовательности п. ч. можно исследовать путём пробных вычислений, а экспериментальные устройства дают новые последовательности с. ч. при каждом их использовании.
Лит.: Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971; Соболь И. М., Численные методы Монте-Карло, М., 1973. С.М.Ермаков.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС (вероятностный, или стохастический), процесс (т. е. изменение во времени состояния нек-рой системы), течение к-рого может быть различным в зависимости от случая и для к-рого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может служить броуновское движение; другими практически важными примерами являются турбулентные течения жидкостей и газов, протекание тока в электрической цепи при наличии неупорядоченных флуктуации напряжения и силы тока (шумов) и распространение радиоволн при наличии случайных замираний (федингов) радиосигналов, создаваемых метеорологич. или иными помехами. К числу С. п. могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также ряд процессов, встречающихся в геофизике (напр., вариации земного магнитного поля), физиологии (напр., изменение биоэлектрич. потенциалов мозга, регистрируемое на электроэнцефалограмме) и экономике.
Для возможности применения матем. методов к изучению С. п. требуется, чтобы мгновенное состояние системы можно было схематически представить в виде точки нек-рого фазового пространства (пространства состояний) R; при этом С. п. будет представляться функцией Х(t) времени t со значениями из R. Наиболее изученным и весьма интересным с точки зрения многочисленных приложений является случай, когда точки R задаются одним или несколькими числовыми параметрами (обобщёнными координатами системы).
В матем. исследованиях под С. п. часто понимают просто числовую функцию X(t), могущую принимать различные значения в зависимости от случая с заданным распределением вероятностей для различных возможных её значений-одномерный С. п.; если же точки R задаются несколькими числовыми параметрами, то соответствующий С. п. X(t)= {X1(t), X2(t),..., Xk(t)} наз. многомерным.
Матем. теория С. п. (а также более общих случайных функций произвольного аргумента) является важной главой вероятностей теории. Первые шаги по созданию теории С. п. относились к ситуациям, когда время t изменялось дискретно, а система могла иметь лишь конечное число разных состояний, т. е.- к схемам последовательности зависимых испытаний (А. А. Марков старший и др.). Развитие теорий С. п., зависящих от непрерывно меняющегося времени, является заслугой сов. математиков Е. Е. Слуцкого, А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, амер. математиков Н. Винера, В. Феллера и Дж. Дуба, франц. математика П. Леей, швед. математика X. Крамера и др. Наиболее детально разработана теория нек-рых спец. классов С. п., в первую очередь - марковских процессов и стационарных случайных процессов, а также ряда подклассов и обобщений указанных двух классов С. п. (цепи Маркова, ветвящиеся процессы, процессы с независимыми приращениями, мартингалы, процессы со стационарными приращениями и др.).
Лит.: Марков А. А., Замечательный случай испытаний, связанных в цепь, в его кн.: Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Слуцкий Е. Е., Избранные труды, М., 1960; Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 5 - 41; X и н ч и н А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, там же, с. 42 - 51; Винер Н., Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Л е в и П., Стохастические процессы и броуновское движение, пер. с франц., М., 1972; Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Розанов Ю. А., Случайные процессы, М., 1971; Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1 - 2, М., 1971 - 73. А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ (экстраполирование), предсказание значения случайного процесса в нек-рый будущий момент времени по наблюдённым значениям этого процесса (или, более общо, к.-л. статистически с ним связанного процесса - напр. суммы прогнозируемого процесса с искажающими наблюдения случайными помехами, т. е. с "шумом") в прошлом и настоящем. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое значение процесса X(t) в момент t = t1 не может быть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться, чтобы случайная ошибка прогноза А = X(t1) -- X1(t1) [где X1(t1)- предсказанное значение X(t1)] в среднем была бы по возможности наименьшей. В теории С. п. п. оптимальным (наилучшим) обычно считается прогноз, для к-рого минимально матем. ожидание квадрата ошибки А; такой оптимальный прогноз совпадает с условным матем. ожиданием случайной величины X(t1)при условии, что наблюдаемые величины, по к-рым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений) значения.
Большое место в теории С. п. п. занимает теория оптимального линейного С. п. п., посвящённая методам нахождения линейной функции от данных наблюдений такой, что для неё средний квадрат её отклонения от X(t1) меньше, чем для всех других линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное С. п. п. совпадает с общим оптимальным С. п. п.
Общая теория оптимального линейного С. п. п. для стационарных случайных процессов была разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Большое развитие получила также теория оптималь ного (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования процессов, являющихся компонентами марковских случайных процессов.
Лит.: Колмогоров А. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, "Изв. АН СССР. Сер. математическая", 1941, т. 5, № 1; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы, М., 1974; Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1 - 2, М., 1974; W i е п е г N., Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, N. Y., 1949.
А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ДАТЧИК, устройство для выработки случайных чисел, равномерно распределённых в заданном диапазоне чисел. Применяется для имитации реальных условий функционирования систем автоматич. управления, для решения задач методом статистич. испытаний (Монте-Карло методом), для моделирования случайных изменений параметров произ-ва в автоматизированных системах управления и т. д. Кроме непосредств. использования в статистич. моделях, равномерно распределённые случайные числа, вырабатываемые С. ч. д., являются основой для формирования числовых последовательностей с заданным законом распределения.
Осн. блок С. ч. д.- генератор случайных равновероятных цифр (ГРЦ), наиболее часто двоичных, из к-рых затем формируются необходимые многоразрядные сочетания (числа). В ГРЦ в качестве первичного источника случайных сигналов используют собств. шумы электровакуумных, газоразрядных, полупроводниковых дриборов и спец. резисторов, а(альфа)-частицы, В(бетта)-частицы и у(гамма)-лучи радиоактивных излучений, флуктуации фазы и амплитуды гармония, колебаний и т. п. В состав ГРЦ входят соответств. приборы, формирующие исходные сигналы и наз. источниками первичных случайных процессов, а также усилитель-формирователь, преобразующий исходный случайный процесс к виду, удобному для цифровой интерпретации, цифровой преобразователь сформированных случайных сигналов в дискретные равновероятные состояния к.-л. электронного устройства (напр., триггера), каждому из к-рых ставится в соответствие определённая цифра, стабилизатор вероятности, обеспечивающий устойчивость вероятностных характеристик генерируемой последовательности цифр. Один из осн. способов стабилизации предполагает совмещение прямых и инверсных представлений генерируемых цифр. При этом стабилизированная последовательност |
