| 8406202 9216 1210 912 1
стремится к нулю, однако этот Р. расходится.
Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
[2233-28.jpg]
поэтому в этом случае пишут:
[2233-29.jpg]
Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция f (x) определена при всех х >= 1, неотрицательна и убывает, то Р.
[2233-30.jpg]
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
[2233-31.jpg]
С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.
[2233-32.jpg]
сходится при а > 1 и расходится при а =< 1.
Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 =< uп =< cvn, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) - расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/пa. Таким методом сразу получается, что Р. с к-м членом
[2233-33.jpg]
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
[2233-34.jpg]
то при l < 1 Р. (1) сходится, а при l > 1 Р. расходится. При l=1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.
Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
[2233-35.jpg]
Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
[2233-36.jpg]
абсолютно сходится, а Р.
[2233-37.jpg]
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
[2233-38.jpg]
- Р., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений umvn членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s1и s2, то s = s1s2, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
[2233-39.jpg]
Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
[2233-40.jpg]
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Напр., признак Лейбница: если
[2233-41.jpg]
то знакочередующийся Р.
[2233-42.jpg]
сходится. Более общие признаки можно получить, напр., с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
[2233-43.jpg]
Признак Абеля: если последовательность {ап} монотонна и ограничена, а Р.
[2233-44.jpg]
сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {аn} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
[2233-45.jpg]
ограничена, то Р. (11) сходится. Напр., по признаку Дирихле Р.
[2233-46.jpg]
сходится при всех действительных а. Иногда рассматриваются Р. вида
[2233-47.jpg]
Такой Р. называется с х од я щ и м с я, если сходятся Р.
[2233-48.jpg]
сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида
[2233-49.jpg]
где un1,n2,...,nk - заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами п1, n2, ...,nk, каждый из к-рых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа - двойные ряды.
Для нек-рых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, напр., при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Напр., для суммы геометрич. прогрессии (2)
[2233-50.jpg]
для Р. (7) при сделанных предположениях
[2233-51.jpg]
а для Р. (10)
[2233-52.jpg]
С помощью нек-рых специальных преобразований иногда удаётся "улучшить" сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, напр., расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 'Ь-
Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции иn= uп(х) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения к-рых принадлежат какому-то метрич. пространству), определённые на нек-ром множестве Е. В этом случае ряд
[2233-53.jpg]
наз. функциональным.
Если Р. (11) сходится в каждой точке множества Е, то он называется сходящимся на множестве Е.
Пример: Р.
[2233-54.jpg]
сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р. непрерывных, напр., на нек-ром отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при к-рых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемое™ и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е, если во всех точках Е отклонение частичных сумм Р.
[2233-55.jpg]
при достаточно больших номерах п от суммы Р.
[2233-56.jpg]
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число е > 0, существует такой номер пe, что
[2233-57.jpg]
для всех номеров п >= nЕи всех точек х принадлежит Е. Это условие равносильно тому, что
[2233-58.jpg]
равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q < 1 и не сходится равномерно на отрезке [О, 1].
Критерий Коши: для того чтобы Р. (11) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовал такой номер' пе, что для всех номеров п>=nе, р>=0 и всех точек х принадлежит Е выполнялось неравенство
[2233-59.jpg]
Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Р.
[2233-60.jpg]
то Р. (11) равномерно сходится на Е.
Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных на нек-ром отрезке (или, более общо, на нек-ром топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р. интегрируемых на нек-ром множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится в среднем к нек-рой интегрируемой функции, то интеграл от этой функции равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин нек-рой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на нек-ром отрезке Р. (11) дифференцируемы на нём и Р. из их производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом отрезке и Р. можно почленно дифференцировать .
Понятие функционального Р. обобщается и на случай кратных Р. В различных разделах математики и её приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные ряды, тригонометрические ряды и, более общо, в Р. по специальным функциям некоторых операторов.
К понятию бесконечных сумм подошли ещё учёные Др. Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрич. прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р. вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р. успешно развивалась в 18 - 19 вв. в работах Я. и И. Берну лли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Д'Аламбера, Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория |
