| 8406202 9216 1210 912 1хi/дu, дхi/дv Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:
[2208-17.jpg]
причём параметры и, v выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах дхi/дu, дхi/дv, равна 1.
В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну и, справедлива т. н. ф о р-мула Гаусса - Бонне:
[2208-18.jpg]
в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических
[2208-19.jpg]
где А, В, С - величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R его эйлерова характеристика х(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны :
[2208-20.jpg]
Эта формула обобщена на случай четно-мерного замкнутого риманова пространства, в к-ром интегрируется нек-рая функция компонент тензора кривизны.
Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механич. систем с циклич. координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, напр., симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном
перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся спец. координатной системой, в к-рой геодезические описываются линейными ур-ниями, и др. Риманова кривизна играет важную роль в геометрич. приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести нек-рую риманову метрику. Так, напр., топологич. строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в к-рых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомео-морфна n-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизна К удовлетворяет неравенствам
[2208-21.jpg]
где о - нек-рая постоянная. От величины кривизны полного риманова пространства R зависит и его диаметр d - точная верхняя грань расстояний между точками R, определяемых внутр. метрикой R: напр.,
[2208-22.jpg]
Метрическая связность. Параллельное перенесение вдоль кривой L с концами А, В задаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование тi касательного пространства ЕAв точке Л в касательное пространство ЕBв точке А. Дифференциал преобразования т.; в точке А, т. е. главная линейная часть изменения тi при переходе из А(хi) в близкую точку А(х1 + dx1), определяет нек-рый геометрич. объект, наз. р и м а-новой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм
[2208-23.jpg]
Однако в римановом пространстве R можно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрич. тензор; они наз. метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами Гijk , но уже не симметричными по индексам j, k и не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор gij и его производные. Отличие метрич. связности от римановой оценивается т. н. тензором кручения:
[2208-24.jpg]
геометрический смысл к-рого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, Ь, с и углами А, В, С. Тогда главная часть проекции кручения в точке А на сторону АВ равна отношению величины с-acos В-b cos А к площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к АВ -величине a sin В-b sin А, делённой на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.
Кривые, касательный вектор к к-рым переносится вдоль них параллельно, наз. геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор
[2208-25.jpg]
кососимметричен по всем индексам.
[2208-26.jpg]
М наз. римановым подпространством пространства R.
Достаточно малая область га-мерного риманова пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности N (т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что N=<[(m(m+1))/2]+m вопрос о минимальном значении N в общем случае ещё не решён, однако если коэффициенты метрич. формы дц пространства R являются аналитич. функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то N=<[(m(m+1))/2]+m. Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.
Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, напр.: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшей К [проблема Г. Вейля (1916), решённая нем. математиком X. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, нем. математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелое (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны К=<К0<0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [сов. математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского (К = - 1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [сов. математик Э. Г. Позняк (1973)].
Приложения и обобщения римановой геометрии. 1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физич. задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физич. величины, характеризующие упругие, оптич., термодинамические, диэлектрические, пьезомагнит-ные и др. свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов дц является отражением одного из фундаментальных физич. законов - закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решённая ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.
2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной геометрич. форме ряд механич. задач. Так, напр., траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механич. системы с кинетич. энергией
[2208-27.jpg]
где qi - обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n-мер-ного риманова пространства с метрич. тензором дц. О нек-рых др. фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип). 3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнит, структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, напр.,
а) физич. представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутр. напряжений соответствует риманово пространство с нек-рой метрич. связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет т. н. естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокаций,
б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора Jik, такого, что
[2208-28.jpg]
где S - Кронекера символ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц; в) привлечение понятия т. н. конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при к-рой результат параллельного перенесения метрич. тензора дц пропорционален ему самому, позволило смоделировать нек-рые из т. н. Бора постулатов, в частности избранные (или "разрешённые") орбиты движения электронов в атоме - кривые, вдоль к-рых метрич. тензор сохраняется.
4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение) и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из к-рых являются т. н. псевдоримановы пространства. Таково, напр., согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства - времени) - четырёхмерное пространство с заданной на нём зна-конеопределённой невырожденной квадратичной формой
[2208-29.jpg]
(коэффициен |
