| 8406202 9216 1210 912 1. входных напряжений через входные сопротивления протекают токи I1, ..., In, суммирующиеся в точке 2 на входе ОУ. Поскольку коэфф. усиления ОУ делают очень большим, напряжение в точке 2 практически равно 0.
[2205-5.jpg]
Рис. 1. Структурная схема решающего усилителя: (Uвх1..., Uвхn- напряжения (сигналы) на входах решающего усилителя; Z1, ..., Zn - входные сопротивления; Е - суммирующая точка; Zос - сопротивление цепи обратной связи; Uвых - выходное напряжение (сигнал); ОУ-операционный усилитель.
[2205-6.jpg]
активные сопротивления, то суммирование осуществляется с одноврем. умножением слагаемых на постоянные коэфф. ki . В случае включения в цепь обратной связи комплексных сопротивлений происходит более сложное преобразование входных сигналов во времени. Напр., если Zi - активные сопротивления (равные Ri), а цепь обратной связи образована ёмкостью Сос, то Uвых(t) =
[2205-7.jpg]
т. е. происходит интегрирование суммы входных напряжений по времени. При использовании в цепях обратной связи нелинейных сопротивлений Р. у. позволяют выполнять нелинейные операции (возведение в степень, нахождение тригонометрич. функций, перемножение и др.).
Погрешность при выполнении операций Р. у. обусловлена неточностью номиналов элементов цепи обратной связи, их нестабильностью и неидеальностью ОУ. Погрешность тем меньше, чем больше коэфф. усиления ky и входное сопротивление ОУ и чем меньше его выходное сопротивление. Значительное влияние на увеличение погрешности оказывают паразитный входной ток Iп, генерируемый ОУ, сдвиг нуля Eп и их нестабильность - дрейф во времени и при изменении темп-ры (см. Дрейф нулевого уровня), а также шумы. Динамич. погрешность Р. у. тем меньше, чем шире полоса пропускания и больше частота среза fcp(при к-рой ky ~ 1), а также чем больше скорость нарастания Uвых.
Высококачеств. ОУ обычно строят с неск. параллельными каналами усиления (рис. 2). Такие ОУ обеспечивают ky = = 108-109, Iп = 10-12-10-10а, Еп = = 1-50 мкв, fcp = 1 - 100 Мгц. ОУ с одним каналом усиления имеют Ry = 104-106, In = 10-11-10-6a, fcp = 1-20 Мгц. . Лит.: Полонииков Д. Е., Решающие усилители, М.. 1973; Проектирование и применение операционных усилителей, пер. с англ., М., 1974. Д. Е. Полонников.
Рис. 2. Структурная схема операционного усилителя: Вх - вход операционного усилителя; С - разделительные конденсаторы: У1 - усилитель низкой частоты и постоянного тока; У2 - высокочастотный усилитель с Ry~l; Уз - усилитель средней частоты; У4 - выходной широкопо- лосный усилитель; Вых - выход операционного усилителя.
2208.htm
РИККАТИ (Riccati) Якопо Франческо (28.5.1676, Венеция,- 15.4.1754, Треви-зо), итальянский математик. Учился в Падуе. С 1747 жил в Венеции. Осн. труды Р. относятся к интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Автор исследований об интегрируемости в элементарных функциях одного типа дифференциального уравнения 1-го порядка - т. н. специального Риккати уравнения. Известен также инженерной деятельностью; руководил постройкой речных плотин.
Соч.: Opere..., v. 1 - 4, Lucca, 1761 - 65.
Лит.: Cantor M., Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3, Lpz., [1901].
РИККАТИ УРАВНЕНИЕ, обыкновенное дифференциалъное уравнение 1-го порядка вида
[2206-1.jpg]
где а, б, а - постоянные. Это уравнение впервые исследовалось Я. Риккати (1724); отдельные частные случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли установил (1724-25), что уравнение (*) интегрируется в элементарных функциях, если а = -2 или а = -4k/(2k-1), где k - целое число. Как доказал Ж. Лиувилль (1841), при других значениях а решение уравнения (*) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций. Дифференциальное уравнение
[2206-2.jpg]
где Р(х), Q(x), R(x)- непрерывные функции, наз. общим Р. у. [в отличие от него уравнение (*) наз. специальным Р. у.]. При Pi(.r)=0 общее Р. у. является линейным дифференциальным уравнением, при R(x)=0 - т. н. Бернулли уравнением, к-рые интегрируются в конечном виде. Изучены также другие случаи интегрируемости общего Р. у. Лит.: Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 4 изд., М., 1971.
2210.htm
РИМАНА СФЕРА, одно из возможных геометрич. изображений совокупности комплексных чисел, введённое Б. Рима-ном. Комплексное число
z = х + iy = r (cos Ф + i sin Ф) = reiФ
можно изображать точками на плоскости (комплексной числовой плоскости) с декартовыми координатами х, у или полярными r, Ф. Для построения Р. с. проводится сфера, касающаяся комплексной числовой плоскости в начале координат; точки комплексной числовой плоскости отображаются на поверхность сферы с помощью стереографической проекции. В этом случае каждое комплексное число изображается соответствующей точкой сферы; последняя и наз. сферой Римана. Число О изобразится при этом юж. полюсом Р. с.; числа с одинаковым аргументом ф = const (лучи комплексной числовой плоскости) изобразятся меридианами, а числа с одинаковым модулем r = const (окружности комплексной числовой плоскости) - параллелями Р. с. Сев. полюсу Р. с. не соответствует никакая точка комплексной числовой плоскости. В целях сохранения взаимной однозначности соответствия между точками комплексной числовой плоскости и Р. с. на плоскости вводят "бесконечно удалённую точку", к-рую считают соответствующей сев. полюсу и обозначают z=бесконечности. Т. о., на комплексной числовой плоскости имеется одна бесконечно удалённая точка, в отличие от проективной плоскости.
[2208-1.jpg]
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана, к-рый заложил её основы в 1854.
Понятие о римановой геометрии. Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия к-рого (т. н. внутренняя геометрия), будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрич. свойствам. Поэтому внутр. геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.
Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. т. В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой,- была впервые развита Н. И. Лобачевским; вторая - это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутр. геометрии поверхностей и её аналитич. аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея - понятие об и-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й пол. 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, к-рые служат точками этого пространства (см. Геометрия, раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.
После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, к-рые развивали дальше аналитич. аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрич. содержания. Важным шагом было создание итал. геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. т. н. тензорного исчисления, к-рое оказалось наиболее подходящим аналитич. аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, к-рое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В наст, время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, к-рая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.
Определение риманова пространства. К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n-мерного многообразия определяется п координатами х1, x2, . . ., хn. В евклидовом n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками X, Y в надлежаще выбранных координатах выражается формулой
[2208-2.jpg]
где дельта хi - разн |
