| 8406202 9216 1210 912 1>0 - параметры).
Р. случайных величин не исчерпываются дискретным и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно иметь такое описание Р., к-рое было бы пригодно во всех случаях. Это описание может быть достигнуто, напр., при помощи т. н. функции распределения Fx (х). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно вероятности Р{Х<х} того, что случайная величина х примет значение, меньшее х, т. е.
[21341-9.jpg]
Функция Р. есть неубывающая функция х, изменяющаяся от 0 до 1 при изменении х от - бесконечности до + бесконечности. Вероятность того, что X примет значение из нек-рого полуинтервала [а, b), равна вероятности того, что X будет удовлетворять неравенству a =< X < b, т. е. равна
F(b) - F(a).
Примеры. 1) Пусть Е - нек-рое событие, вероятность появления к-рого есть р, где 0<р<1. Тогда число м появлений события Е при п независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения т = 0, 1, 2, ..., п с вероятностями
[21341-10.jpg]
Это Р. носит название биномиального распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и б) при больших п близко к нормальному в силу Лапласа теоремы.
[21341-11.jpg]
Рис. 1. Биномиальное распределение: а - вероятности рт = Сmn рт qn-m; б -функция распределения (п = 10, р =
0,2). Гладкими кривыми изображено нормальное приближение биномиального распределения.
2) Число наблюдений до первого появления события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все целые значения т = 1, 2, 3, ... с вероятностями
Рт = qm-1 р.
Это Р. носит название геометрического, т. к. последовательность {рт} есть геометрич. прогрессия (см. рис. 2, а и б).
[21341-12.jpg]
Рис. 2. Геометрическое распределение: а - вероятности рт = qm-1p; б - функция распределения (р = 0,2).
3) Р., плотность к-рого р(х) равна 1/2h на нек-ром интервале (a - h, a + h) и равна нулю вне этого интервала, носит название равномерного распределения. Соответствующая функция Р. растёт линейно от 0 до 1 при изменении х от а - h до а + h (см. рис. 3, а и б).
Дальнейшие примеры Р. вероятностей см. в статьях Кошм распределение, Пирсона кривые, Полиномиальное распределение, Показательное распределение, "Хи-квадрат" распределение, Стьюдента распределение.
[21341-13.jpg]
Рис. 3. Равномерное распределение: а -плотность вероятности; 6 - функция распределения.
Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y = f(X), где f(x) - заданная функция. Тогда Р. Y может быть довольно просто выражено через Р. X. Напр., если X имеет нормальное Р. и Y = еx, то Y имеет т. н. логарифмически-нормальное распределение с плотностью (см. рис. 4)
[21341-14.jpg]
Рис. 4. Плотность логарифмически-нормального распределения (m = 2, o = 1).
[21341-15.jpg]
Формулы, связывающие Р. величин X и Y, становятся особенно простыми, когда У = аХ + b, где а и b - постоянные. Так, при а>0
[21341-16.jpg]
Часто полное описание Р. (напр., при помощи плотности или функции Р.) заменяют заданием небольшого числа характеристик, к-рые указывают или на наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины, или на степень рассеяния значений случайной величины около нек-рого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математич. ожидание ЕХ случайной величины X, имеющей дискретное Р., определяется как сумма ряда
[21341-17.jpg]
при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Для случайной величины X, имеющей Р. непрерывного типа с плотностью Рх(х), математич. ожидание определяется формулой
[21341-18.jpg]
при условии, что написанный интеграл сходится абсолютно. Если Y = f(X), то ЕУ может быть вычислено двумя способами. Напр., если X и Y имеют непрерывное Р., то, с одной стороны, по определению
[21341-19.jpg]
с другой стороны, можно показать, что
[21341-20.jpg]
Дисперсия DX определяется как
[21341-21.jpg]
т. е., напр., для непрерывного Р.
[21341-22.jpg]
Р. вероятностей имеют много общего с Р. к.-л. масс на прямой. Так, случайной величине X, принимающей значения x1, х2, ..., хп с вероятностями р1, р2, ..., рп, можно поставить в соответствие Р. масс, при к-ром в точках хk размещены массы, равные pk. При этом формулы для ЕХ и DX оказываются совпадающими с формулами, определяющими соответственно центр тяжести и момент инерции указанной системы материальных точек. Подробнее о числовых характеристиках Р. см. в статьях Квантиль, Медиана, Мода, Математическое ожидание, Вероятное отклонение, Дисперсия, Квадратичное отклонение.
Если складываются неск. независимых случайных величин, то их сумма будет случайной величиной, Р. к-рой зависит только от Р. слагаемых (чего не будет, как правило, при сложении зависимых случайных величин). При этом, напр., для случая двух слагаемых, каждое из к-рых имеет Р. непрерывного типа, имеет место формула:
[21_500-1.jpg]
В весьма широких предположениях Р. суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых приближается к нормальному Р. или к др. предельным Р. (см. Предельные теоремы теории вероятностей). Однако для установления этого факта явные формулы типа (*) практически непригодны, поэтому доказательство ведётся обходным путём, обычно с использованием т. н. характеристических функций.
Статистические распределения и их связь с вероятностными. Пусть произведено п независимых наблюдений случайной величины X, имеющей функцию P. F(x). Статистич. Р. результатов наблюдений задаётся указанием наблюдённых значений x1, х2, ..., хr случайной величины X и соответствующих им частот h1, h2, ..., hr (т. е. отношений числа наблюдений, в к-рых появляется данное значение, к общему числу наблюдений). Напр., если при 15 наблюдениях значение 0 наблюдалось 8 раз, значение 1 наблюдалось 5 раз, значение 2 наблюдалось 1 раз и значение 3 наблюдалось 1 раз, то соответствующее статистич. Р. задаётся табличкой:
Наблюдённые значения хт
0
1
2
3
Соответствующие частоты hm
8/15
1/3
1/15
1/15
Частоты всегда положительны и в сумме дают единицу. С заменой слова "вероятность" на слово "частота" к статистич. Р. применимы мн. определения, данные выше для Р. вероятностей. Так, если x1, х2, ..., хr - наблюдённые значения X, a h1, h2, ..., hr - частоты этих наблюдённых значений, то соответствующие статистич. Р. среднее и дисперсия (т. н. выборочное среднее и выборочная дисперсия) определяются равенствами
[21_500-2.jpg]
а соответствующая функция Р. (т. н. эмпирическая функция распределения) - равенством
F*(x) = пх/n,
где пx - число наблюдений, результат к-рых меньше х. Статистич. Р. и его характеристики могут быть использованы для приближённого представления теоретич. Р. и его характеристик. Так, напр., если X имеет конечные математич. ожидание и дисперсию, то, каково бы ни было е>0, неравенства
[21_500-3.jpg]
выполняются при достаточно большом п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Т. о., x и s2 суть состоятельные оценки для ЕХ и DX соответственно (см. Статистические оценки). Сов. математик В. И. Гливенко показал, что при любом ?>0 вероятность неравенства
|F*n(x)-F(x)| < e
при всех х стремится к единице при п, стремящемся к бесконечности. Более точный результат установлен сов. математиком А. Н. Колмогоровым; см. об этом Непараметрические методы в математической статистике.
Многомерные распределения. Пусть X и У - две случайные величины. Каждой паре (X, У) можно отнести точку Z на плоскости с координатами X и У, положение к-рой будет зависеть от случая. Совместное Р. величин X и У задаётся указанием возможных положений точки Z и соответствующих вероятностей. Здесь также можно выделить два осн. типа Р.
1)Дискретные распределения. Возможные положения точки Z образуют конечную или бесконечную последовательность. Р. задаётся указанием возможных положений точки Z
Z1, Z2, ..., Zn, ... и соответствующих вероятностей p1, p2, ..., рn, ...
2) Непрерывные распределения задаются плотностью вероятности р (х, у), обладающей тем свойством, что вероятность попадания точки Z в к.-л. область G равна
[21_500-4.jpg]
Пример: двумерное нормальное Р. с плотностью
[21_500-5.jpg]
где
[21_500-6.jpg]
-математич. ожидания и дисперсии величин X и У,
[21_500-7.jpg]
и R - коэфф. корреляции величин X и У:
[21_500-8.jpg]
Аналогично можно рассматривать Р. вероятностей в пространствах трёх и большего числа измерений. О многомерных Р. см. также Корреляция, Регрессия.
О возможности дальнейших обобщений и о связи между понятием меры множества и понятием Р. см. Вероятностей теория.
Лит.: Гнеденк |
