| 8406202 9216 1210 912 1нное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теорети-кочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963. В.И.Лебедев.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ дифференциальных уравне-н и и, получение аналитич. выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью к-рых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на нек-ром шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Напр., пусть требуется найти решение дифференциального уравнения у' - f(x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (x0) = yо, причём известно, что f (x, у) - аналитич. функция х, у в нек-рой окрестности точки (хо, уо). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
[2039-24.jpg]
Коэффициенты Ak, ряда могут быть найдены либо по формулам:
[2039-25.jpg]
либо с помощью неопределённых коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х- х0.
Часто (напр., при изучении периодич. движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение осн. уравнения можно искать в виде ряда, первым членом к-рого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (напр., при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретич. обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при нек-рых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, напр., метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения y' = f(x, y) с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в нек-рой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х - х0.Осн. характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения. Осн. идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у(х) в точках x1, х2, ..., хпнек-рого фиксированного отрезка [хо, b]. Так, для того чтобы вычислить y(x1), где x1= хо + h, h = (b - хо)/п,
представляют y(x1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = x1 - хо. Напр., ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у(хk) формулы:
[2039-26.jpg]
Это т. н. метод ломаныхЭйле-ра (на каждом отрезке [хk, хk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f(x, у) в нек-рых точках, к-рая даёт с определённой точностью неск. первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Напр., правая часть формулы Рунге:
[2039-27.jpg]
даёт первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5. В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной
[2039-28.jpg]
Примером разностной формулы П. р. является экстраполяц. формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности" 3-го порядка:
[2039-29.jpg]
даёт решение у(х) в точке хkс точностью до величин порядка h4.
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
[2039-30.jpg]
особенно удобную для решения уравнений вида у" = f(x, у). По этой формуле находят Д2yn-1, а затем yn+1 = = уп + Дyn+1 + Д2yn-1. Найдя уп+1 вычисляют y"n+1= f(xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитич. и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в нек-рых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1955.
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, вычисления, в к-рых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, к-рые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами.
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ, математические формулы, получаемые из формул вида f(x) = f*(x) + e(x), где Е (х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f(x) ~ f*(x).
[2039-31.jpg]
Напр., П. ф. (1 + x)2 ~= 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + x)2 при малых | х |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если | х | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223 ..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем „т ближе к 0. Но так бывает не всегда. Напр., точ-
[2039-32.jpg]
Выше (стр. 555) приведено неск. наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |х|, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.
Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, напр. в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, напр., что раз-
[2039-33.jpg]
ностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если х соответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).
ПРИБОЙ, явление разрушения морской (озёрной) волны, происходящее в результате разбивания волн непосредственно у берега, при этом колебательные движения воды сменяются возвратно-поступательным движением прибойного потока. П.- основной фактор разрушения абразионных берегов и образования пляжей, сопровождаемый перемещением наносов на пляжах на аккумулятивных берегах.
ПРИБОЙ в ткачестве, продвижение уточной нити вдоль основы к опушке (краю) ткани. Одна из осн. операций при формировании ткани на ткацком станке. Наиболее распространённый рабочий орган для П.- бердо, перемещающее уточную нить одновременно по всей ширине основы. П. на нек-рых станках осуществляется непрерывно с помощью прижимов-уплотнителей утка (круглоткацкий станок), профилированных дисков (многозевные ткацкие машины).
"ПРИБОЙ", легальное большевистское изд-во, создано в нояб. 1912 в Петербурге во время "страховой кампании" (1912-1914), с 1913 начало выпуск лит-ры по вопросам социального страхования рабочих; с июля 1913 стало изд-вом ЦК РСДРП, по указанию к-рого гл. внимание уделяло изданию политич. агитационно-пропагандистской лит-ры по вопросам рабочего движения. Вышли сборники: "Марксизм и ликвидаторство" со статьями В. И. Ленина, "Страхование рабочих в России и на Западе" (2-й и 3-й выпуски |
