Главная страница
ПОЛЯРИЗАЦИЯ (франц. polarisation, первоисточник: греч. polos - ось, полюс) биоэлект р и ческа я, возникновение двойного электрич. слоя на границе между наружной средой и содержимым живой клетки....
ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИЙ ДОХОД
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЙ КАПИТАЛ, функциональная форма и вторая стадия кругооборота пром. капитала (см. Кругооборот капитала). В отличие от денежного капитала и товарного капитала, занятых в сфере обращения, П. к. занят в сфере произ-ва....
ПУЛЬСАРЫ
РАДИОВЕЩАТЕЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК, радиоприёмник, предназначенный для приёма программ звукового вещания и их акустич. воспроизведения. В СССР выпускаются Р. п., позволяющие принимать передаваемые радиовещат. станциями амплитудно-модулированные (AM) сигналы...
Поиск
РАЗРЫВ ДИПЛОМАТИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ, прекращение нормальных дипломатич. отношений между двумя гос-вами; влечёт за собой отозвание дипломатич. представителей и ликвидацию дипломатич. представительств. Р. д. о. обычно происходит вследствие возникновения между гос-вами состояния войны...
БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь
Термины:
РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .
Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.
Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я
8406202 9216 1210 912 1ункций комплексного переменного.
Лит.: Монографии. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.-Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.
Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917 - 1947, М.-Л., 1948, с. 288 - 318; Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 1957, т. 1, М., 1959, с. 295 - 379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568 -588. С. А. Теляковский.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций спец. классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Осн. являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т. п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитич. функций и природе аналитичности.
Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно к-рой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного г, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность) этой области посредством полиномов от г. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутр. точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей - М. В. Келдышем (1945) и в общем случае -С. Н. Мергеляном (1951).
Пусть Е„ = En (f,K) - наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше п (в равномерной метрике). Если К - компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Еп} стремится к нулю быстрее нек-рой геометрич. прогрессии: ЕnN). Если f непрерывна на К и голоморфна во внутр. точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрич. свойств границы К.
Другие направления исследований -равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций неск. комплексных переменных.
Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.- Л., 1964; МергелянС. Н., Приближения функций комплексного переменного, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М.,1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. I, К., 1970, с. 112 - 78.
А. А. Гончар.
ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ определённых интегралов, раздел вычислит. математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов.
Пусть y = f(x) - непрерывная функция на отрезке [а, b] и интеграл
[2039-14.jpg]
Если для функции f(x) известны значения первообразной F(x) при х = а и х = b, то по формуле Ньютона - Лейбница
[2039-15.jpg]
В противном случае приходится искать др. пути вычисления I(f). Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I (f) в виде линейной функции нек-poro числа значений функции f (x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x), называют выражение вида
[2039-16.jpg]
в к-ром точки Xk, k= 1, 2,..., п, хk ПРИНАДЛЕЖИТ [а,b], наз. узлами, а коэффициенты Аk, -весами.
Для каждой непрерывной функции f(x) значение I(f) может быть вычислено с помощью сумм Sn(f) с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом Q, к к-рому относят конкретную функцию f(x), способом задания функции и имеющимися вычислит. средствами. Погрешностью квадратурной формулы наз. разность
[2039-17.jpg]
Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f(x) параметров: п, xk, Ak (k = 1, 2, . . ., п), к-рые выбирают так, чтобы при f ПРИНАДЛЕЖИТ Q погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ПРИНАДЛЕЖИТ Q характеризует величина rn (Q) - точная верхняя грань |Rn(f)| на множестве Q:
[2039-18.jpg]
Квадратурная формула, для к-рой Wn(Q) = rn (Q), наз. оптимальной на классе Q. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.
Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано неск. методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть (wq(x), q = 0,1,...,- полная система функций в классе Q, и любая f(x) ПРИНАДЛЕЖИТ Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций [2039-19.jpg]
для возможно большего значения т. В методе Ньютона - Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы хK, а определению подлежат веса Ak. В методе Чебышева на веса А заранее накладываются нек-рые связи [напр., Ak = (b - а)/п], а определению подлежат узлы хк. В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk. В методе Маркова j узлов (}<п) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций wq(х).
Формулы Ньютона - Котеса строятся на основе системы функций wq = хq, q = 0, 1, ...; узлы xk разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула, трапеций формула и Симпсона формула.
Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1].
В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:
[2039-20.jpg]
и для вычисления интегралов по отрезкам [ai
В формулах Гаусса т = 2п - 1, а при а = -1, b = 1 узлы Xk являются корнями Лежандра многочленаРn(х)степени n, а
[2039-21.jpg]
Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, I = b - а и хk ПРИНАДЛЕЖИТ[a,b] лишь для п = 1, ..., 7, 9; в ней т = п - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f(x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.
При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:
[2039-22.jpg]
Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида
[2039-23.jpg]
где р(х) - фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f ПРИНАДЛЕЖИТQ функции f(x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций
Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.
Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в спец. справочниках.
Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда наз. кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд спец. формул.
Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматич. выбором шага.
Лит.: Крылов В. И., Приближе
Другие направления исследований -равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций неск. комплексных переменных.
Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.- Л., 1964; МергелянС. Н., Приближения функций комплексного переменного, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М.,1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. I, К., 1970, с. 112 - 78.
А. А. Гончар.
ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ определённых интегралов, раздел вычислит. математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов.
Пусть y = f(x) - непрерывная функция на отрезке [а, b] и интеграл
[2039-14.jpg]
Если для функции f(x) известны значения первообразной F(x) при х = а и х = b, то по формуле Ньютона - Лейбница
[2039-15.jpg]
В противном случае приходится искать др. пути вычисления I(f). Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I (f) в виде линейной функции нек-poro числа значений функции f (x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x), называют выражение вида
[2039-16.jpg]
в к-ром точки Xk, k= 1, 2,..., п, хk ПРИНАДЛЕЖИТ [а,b], наз. узлами, а коэффициенты Аk, -весами.
Для каждой непрерывной функции f(x) значение I(f) может быть вычислено с помощью сумм Sn(f) с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом Q, к к-рому относят конкретную функцию f(x), способом задания функции и имеющимися вычислит. средствами. Погрешностью квадратурной формулы наз. разность
[2039-17.jpg]
Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f(x) параметров: п, xk, Ak (k = 1, 2, . . ., п), к-рые выбирают так, чтобы при f ПРИНАДЛЕЖИТ Q погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ПРИНАДЛЕЖИТ Q характеризует величина rn (Q) - точная верхняя грань |Rn(f)| на множестве Q:
[2039-18.jpg]
Квадратурная формула, для к-рой Wn(Q) = rn (Q), наз. оптимальной на классе Q. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.
Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано неск. методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть (wq(x), q = 0,1,...,- полная система функций в классе Q, и любая f(x) ПРИНАДЛЕЖИТ Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций
для возможно большего значения т. В методе Ньютона - Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы хK, а определению подлежат веса Ak. В методе Чебышева на веса А заранее накладываются нек-рые связи [напр., Ak = (b - а)/п], а определению подлежат узлы хк. В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk. В методе Маркова j узлов (}<п) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций wq(х).
Формулы Ньютона - Котеса строятся на основе системы функций wq = хq, q = 0, 1, ...; узлы xk разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула, трапеций формула и Симпсона формула.
Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1].
В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:
[2039-20.jpg]
и для вычисления интегралов по отрезкам [ai
В формулах Гаусса т = 2п - 1, а при а = -1, b = 1 узлы Xk являются корнями Лежандра многочленаРn(х)степени n, а
[2039-21.jpg]
Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, I = b - а и хk ПРИНАДЛЕЖИТ[a,b] лишь для п = 1, ..., 7, 9; в ней т = п - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f(x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.
При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:
[2039-22.jpg]
Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида
[2039-23.jpg]
где р(х) - фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f ПРИНАДЛЕЖИТQ функции f(x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций
Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.
Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в спец. справочниках.
Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда наз. кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд спец. формул.
Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматич. выбором шага.
Лит.: Крылов В. И., Приближе