| 8406202 9216 1210 912 1авлена со значениями полной кривизны: в эллиптич. точке кривизна положительна, в гиперболической - отрицательна и в параболической - равна нулю.
Во мн. вопросах П. т. рассматривается др. характеристика искривлённости поверхности -т. н. средняя криви з-н а, равная полусумме гл. кривизн поверхности. Так, напр., одним из объектов исследований П. т. являются минимальные поверхности, ср. кривизна к-рых в каждой точке равна нулю.
Важное значение в П. т. имеет вопрос о возможности изгибания поверхности: можно ли утверждать, что данная поверхность будет изгибаемой? Математически этот вопрос формулируется след, образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрич. семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные поверхности - поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность к-рой не допускает изгибания. Последний результат установлен сов. геометром Н. В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания спец. типов.
Задача изгибания поверхностей тесно связана с задачей определения поверхности по заданным осн. квадратичным формам, получившей полное решение в работах нем. математика К. Гаусса, рус. математика К. М. Петерсона, итал. математиков Г. Майнарди и Д. Кодацци и франц. математика О. Бонне. Поскольку значение полной кривизны К поверхности может быть выражено через коэффициенты первой квадратичной формы, то уравнение (3) является одним из соотношений, связывающих коэффициенты первой (1) и второй (2) форм. Другие два соотношения
[2005-6.jpg]
волы второго рода) были установлены в 1853 К. М. Петерсоном. Справедливо и обратное утверждение - если коэффициенты двух форм, одна из к-рых положительно-определённая, удовлетворяют уравнениям (3) и (4), то существует определённая с точностью до движения и зеркального отражения поверхность, для к-рой указанные формы будут первой и второй квадратичными формами.
К числу наиболее важных проблем П. т. относится проблема разыскания признаков, к-рые позволяют по заданным двум осн. квадратичным формам поверхности (в произвольных координатах) установить, относится ли поверхность к данному классу поверхностей или нет. Для решения этой общей проблемы, как и мн. др. проблем П. т., используются методы тензорного исчисления.
С нач. 20 в. в П. т. появляется новое направление, в к-ром исследуется поверхность "в целом" по данным свойствам окрестностей её точек. Напр., Л. Г. Шни-рельманом и Л. А. Люстерником было доказано существование трёх замкнутых геодезических на регулярных замкнутых поверхностях, гомеоморфных сфере. Продолжение гладких поверхностей иногда приводит к появлению на них особенностей. Напр., всякая развёртывающаяся поверхность, не являющаяся цилиндрической, при продолжении доходит до ребра (или острия в случае конуса). Рассмотрение поверхностей во всём их протяжении и с особенностями (т. е. отказ от требований дифференцируемое) потребовало изобретения принципиально новых методов исследования поверхностей и привлечения методов из др. разделов математики. Развитие П. т. в этом направлении привело к созданию содержательных разделов геометрии. Так, напр., глубокие и принципиально новые результаты были получены А. Д. Александровым и А. В. Погореловым в теории выпуклых поверхностей. Александровым был предложен новый метод исследования выпуклых поверхностей, основанный на приближении выпуклых поверхностей выпуклыми многогранниками.
Рассмотренные свойства поверхностей не меняются при любых изометрич. преобразованиях всего пространства, т.е. они относятся к т. н. метрической П. т. Изучают также свойства поверхностей, инвариантные по отношению к к.-л. другой группе преобразований пространства, напр, группе аффинных или проективных преобразований. Аффинная П. т. рассматривает свойства поверхностей, неизменные при эквпаффинных преобразованиях (аффинных преобразованиях, сохраняющих объём). Проективная П. т. рассматривает проективно-инвариантные свойства поверхностей.
Лит.: Р а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Н о р д е н А. П., Теория поверхностей, М., 1956; ПогореловА. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1 - 2, М.- Л., 1947-48; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., т. 1, М.- Л., 1935; Александров А.Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; ПогореловА. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Фиников С. П., Проективно-дифференцпальная геометрия, М.- Л., 1937; Широков П. А.,Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959; В 1 a s с h k e W., Vorlesungen iiber Differentialge9metrie, Bd 2, В., 1923; Bi.an-c h i L., Lezioni di geometria differenziale, 3 ed., t. 1-2, Bologna, 1937; D a r b о u x G., Lecons sur la theorie generate des surfaces, 2 ed., t, 1-4, P., 1924-25. Э. Г. Позняк.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, поверхности, образуемые вращением плоской кривой вокруг прямой (о с н П. в.), расположенной в плоскости этой линии. Примером П. в. может служить сфера (к-рую можно рассматривать как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра). Линии пересечения П. в. с плоскостями, проходящими через её ось, наз. мер и-дианами; линии пересечения П. в. с плоскостями, перпендикулярными оси,- параллелями. Если по оси П. в. направить ось Ог прямоугольной системы координат Oxyz, то параметрич. уравнения П. в. можно записать след. образом:
[2005-7.jpg]
[здесь f(u) - функция, определяющая форму меридиана, a v - угол поворота плоскости меридиана].
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек к-рых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:
[2005-8.jpg]
Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет м н и-м у ю П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из к-рых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять осн. типов поверхностей. Именно,
[2005-9.jpg]
При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. осн. инварианты - выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Напр., если
[2005-10.jpg]
то уравнение (*) определяет вырожденные П. в. п.: конусы и цилиндры второго порядка и распадающиеся П. в. п.; если определитель
[2005-11.jpg]
то поверхность имеет единств, центр симметрии (центр П. в. п.) и наз. центральной поверхностью. Если 5 = 0, то поверхность либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
Для П. в. п. установлена аффинная и проективная классификация. Две П. в. п. считают принадлежащими одному аффинному классу, если они могут быть переведены друг в друга нек-рым аффинным преобразованием (аналогично определяются проективные классы П. в. п.). Каждому аффинному классу соответствует один из 17 канонических видов уравнения П. в. п. Проективные преобразования позволяют установить связь между различными аффинными классами П. в. п. Это объясняется тем, что при этих преобразованиях исчезает особая роль бесконечно удалённых элементов пространства. Напр., эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды, различные с аффинной точки зрения, принадлежат одному проективному классу П. в. п.
Лит.:Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1971; Е ф и м о в Н. В., Квадратичные формы и матрицы, 5 изд., М., 1972. А. Б. Иванов.
ПОВЕРХНОСТИ ВЫРАВНИВАНИЯ, участки земной поверхности со сглаженным рельефом различного генезиса, формирующиеся в условиях преобладания экзогенных процессов над эндогенными. П. в. характерны как для платформенных, так и для складчатых областей. Различают П. в. денудационного происхождения (см. Денудационные поверхности, Пенеплен, Педиплен, Педимент), а также абразионные, абразионно-акку-мулятивные и денудационно-эрозионные. Денудационные П. в., как правило, сочленяются с аккумулятивными морскими и аллювиальными равнинами, к-рые могут считаться элементами сложных полигенетических (денуда-ционно-аккумулятивных) П. в.
Возраст П. в. соответствует периоду наиболее полной планации рельефа, к-рый обычно прерывается интенсивным поднятием, приводящим к расчленению поверхности. Выделение П. в., изучение их строения и определение возраста -основной метод установления этапов гео-морфологич. истории крупных территорий. Наряду с большим теоретич. значением анализ П. в. представляет значит, практич. интерес, поскольку с П. в. связ |
