| 8406202 9216 1210 912 1устых подмножеств некоторого множества Е наз. направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений Лей или ВсЛ и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а наз. пределом функции f по направлению S, если для любого е>0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f(x)-а|<е. При определении П. функции f в точке х0 за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х0. При определении П. интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [a, b], следует рассмотреть множество Е, элементами к-рого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками Ri Подмножества Еп множества Е, отвечающие разбиениям, длины Дxi отрезков к-рых не превышаютт), образуют направление. П. интегральных сумм (к-рые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.
Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, напр. на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что нек-рый объект, обозначенный f(x), меняющийся при изменении др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х0сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов х и х0, f(x) и А, к-рые нуждаются в математич. определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.
Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, напр. понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств An, n = 1, 2, ..., наз. сходящейся, если существует такое множество А, наз. её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам Ап, начиная с нек-рого номера, и каждая точка из объединения всех множеств Ап, не принадлежащая Л, принадлежит лишь конечному числу А„.
Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё др.-греч. учёные при вычислении площадей и объёмов нек-рых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положит. величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в др.-греч. математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и к.-л. основ общей теории.
Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальеры, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов "неделимых" метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, к-рые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положит. конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гулъдин, X. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги ("О движении тел") своего труда "Математические начала натуральной философии" посвящает своеобразной теории П. под назв. "Метод первых и последних отношений", к-рую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию "потенциальной" бесконечно малой, к-рая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит. конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математич. анализа.
Совр. теория П. начала формироваться в нач. 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда осн. объектов математич. анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т. п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой построения математич. анализа. Им были получены осн. признаки существования П. последовательностей, осн. теоремы о
П. и, что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действит. числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. Шатуновского (опубл. в 1923), амер. математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и франц. математика А. Картана (1937).
Лит.: А. лександров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971 - 73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.
Л. Д. Кудрявцев.
ПРЕДЕЛЬНАЯ РАВНИНА, почти равнина, то же, что пенеплен.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА множества А, такая точка § пространства, сколь угодно близко от к-рой имеются отличные от g точки множества Л, т. е. в любой окрестности к-рой содержится бесконечное множество точек из Л. Характеристическим свойством П. т. множества Л является существование по крайней мере одной сходящейся к ней последовательности различных точек множества Л. П. т. множества Л не обязана ему принадлежать. Так, напр., всякая точка числовой прямой является П. т. для множества Л рациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел. Не всякое бесконечное множество имеет П. т.-таково, напр., множество всех целых чисел. Однако всякое бесконечное и ограниченное множество любого евклидова пространства имеет по крайней мере одну П. т.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ КАПИТАЛА (англ. marginal efficiency of capital), термин бурж. политич. экономии, означающий ожидаемую норму прибыли на дополнит. капитал. Это понятие наиболее чётко сформулировано Дж. М. Кейнсом (Великобритания) и получило распространение в работах представителей кейнсианства. По Кейнсу, П. э. к.-первое определяющее, к-рым руководствуется капиталист при решении вопроса об инвестициях, т. к. их размер зависит от той нормы прибыли, к-рую он рассчитывает получить. Вторым определяющим выступает процентная ставка на капитал. Капиталист проводит сравнение между П. э. к. и нормой процента. Инвестирование осуществляется лишь в том случае, если процентная ставка на капитал ниже нормы прибыли, ожидаемой от капиталовложений. Чем больше разрыв между этими показателями, тем сильнее побуждение капиталиста к инвестированию. Т. о., объём текущих инвестиций зависит от соотношения между П. э. к. и нормой процента: повышение нормы процента вызывает понижение П. э. к. и уменьшение инвестиций, понизившаяся норма процента и повысившаяся доступность кредита, наоборот, вызывают рост инвестиций. Кейнс исходит из предположения, что предприниматель расширяет свои инвестиции до тех пор, пока П. э. к. не снизится до уровня нормы процента. Однако такое предположение несостоятельно. Во-первых, Кейнс считает, что предприниматель применяет только ссудный капитал. В действительности же самая возможность использования ссудного капитала обусловлена наличием собственного капитала. Поэтому вопрос о норме процента имеет подчинённое значение для предпринимателя. Во-вторых, Кейнс признаёт распространённый в бурж. политич. экономии закон убывающей производительности капитала, согласно к-рому с увеличением вложения каждой дополнит. единицы капитала его производительность или эффективность снижается. Однако Кейнс не отвечает на вопрос, почему с увеличением применяемого в произ-ве капитала норма прибыли должна снижаться и почему в конечном счёте она должна снизиться до нормы процента.
Теория П. э. к. Кейнса является вульгарным истолкованием имеющейся в ка-питалистич. действительности и вскрытой ещ |
