БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь
Термины:

РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .

Главная страница
Поиск по сайту
Оглавление страниц
СПЕКТРОМЕТР (от спектр и ...метр), в широком смысле - устройство для измерений функции распределения нек-рой физ. величины f по параметру х. Функция f(x) может определять распределение электронов по скоростям (бета-спектрометр), атомов по массам (масс-спектрометр), гамма-квантов по энергиям (гамма-спектрометр), энергии световых потоков по длинам волн [$\lambda$] (оптич. спектрометр) и т. п. В узком смысле С. наз. спектральные приборы для измерений оптич. спектров f([$\lambda$]) с помощью фотоэлектрич. приемников излучения...
Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.
Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8406202921612109121определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью к-рого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

Предел последовательности. Пусть задана последовательность действит. чисел хп, п = 1, 2, . . . Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа е>0 существует такой номер nе, что для всех номеров п>=пс выполняется неравенство \хп-а|<е. В этом случае пишется
[2035-1.jpg]

(lim - первые буквы латинского слова limes), или
[2035-2.jpg]

Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1,2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., напр, последовательность 1, -1, 1, . . ., (-1)n+1, ... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., наз. расходящейся. На геометрич. языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

Для П. последовательностей имеют место формулы
[2035-3.jpg]
[2035-4.jpg]

Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного хп/уп надо ещё допол-
[2035-5.jpg]

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из xп
[2035-6.jpg]

Последовательность ап, и = 1, 2, . . ., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к к.-л. числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, напр., последовательность 4/2, 2/3, 3/4, ...,n/(n+1),...
имеет своим П. единицу, поскольку разность 1-n/(n+l) = l/(n+l), и = 1, 2,... является бесконечно, малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Напр., если для заданного числа а обозначить чеоез ап ппиближённое значение его
[2035-7.jpg]

возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине к-рой сходится эта последовательность.

Для того чтобы сходилась произвольная последовательность хп, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Кош и: для любого числа е>0 существует такой номер Ne, что для всех номеров m>=Ne и n>=Ne выполняется неравенство |хп-xm|<е.

Если последовательность хп, и = 1,2,..., такова, что для числа e>0 существует такой номер пeчто для всех номеров n>=ne выполняется неравенство |xп|>е, то последовательность хп наз. бесконечно большой и пишется
[2035-8.jpg]

Если же при этом для любого е>0 существует такой номер nе, что хп>е (соответственно хп<-е) для всех n^nt.
[2035-9.jpg]

собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Напр., последовательности хп = п и yn = sin [(nп)/2 -n] бесконечно большие, а последовательность xn + yп, n = 1, 2, ..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) к.-л. подпоследовательности наз. частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больца-но - Вейерштрасса), а из всякой неограниченной - бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности хп, п = 1, 2, ..., наз. её верхним (соответственно нижним)
[2035-10.jpg]

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом б>0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а-е, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем а + е.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая действит. значения, определена в нек-рой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Функция f имеет П. в точке х0, если для любой последовательности точек хп, n = 1, 2, . . ., xn не= x0, стремящейся к точке х0, последовательность значений функции f(xn,) сходится к одному и тому же числу А, к-рое и наз. пределом функции f в точке х0(или при х->x0), при этом пишется
[2035-11.jpg]

В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А наз. пределом функции f в точке x0, если для любого числа е>0 существует такое число б>0, что для всех точек х не= х0, удовлетворяющих условию |х-x0|<б, х не= х0, выполняется неравенство |t(x)-A\
Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция хa, показательная функция аx, тригонометрические функции sin х, cos х, tg х и ctg х и обратные тригонометрические функции arc sin х, arc cos х, arc tg x и arc ctg x во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция
[2035-12.jpg]

являющаяся суммой бесконечной гео-метрич. прогрессии со знаменателем q = l/(l + x2), 0<<7<1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо /(*)=1 + лг2 при х^О. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f(0)-Q. Функция же
[2035-13.jpg]

Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) н не убывает, то в каждой точке х, а<х[2035-14.jpg]

мится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий К о ш и) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x0 П. в том и только
[2035-15.jpg]

означает, что для любого е>0 существует такое б>0, что для всех х, удовлетворяющих условию х<-б, выполняется неравенство f(x)>е.

Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на нек-ром множестве Е числовой прямой и точка х0 такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в нек-рой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, определяется понятие предела функции по множеству Е
[2035-16.jpg]

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е : х ПРИНАДЛЕЖИТ Е. П. последовательности хп, п = 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел п формулой f(n)=xn, n = 1, 2, ... .

Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при x->0, однако по множеству рациональных чисел она при x->0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т. д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным [2035-17.jpg]

Распространяется понятие П. и на функции, к-рые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, напр., функция f определена на отрезке [а, b]. Совокупность {xi} таких точек xi, что

[2035-18.jpg]

суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и наз. определённым интегралом:

[2035-19.jpg]

Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике спец. видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Напр., можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S неп