| 8406202 9216 1210 912 1тавляет одноэлементный класс, полный для всех тригонометрич. функций (относительно четырёх ариф-метич. действий, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня); три единичных вектора по осям координат образуют полный класс (относительно сложения, вычитания и умножения на действительное число) для множества всех векторов трёхмерного евклидова пространства.
Понятие ф. п. играет важную роль в матем. логике: все двуместные логические операции исчисления высказываний (см. Логика высказываний) могут быть выражены через конъюнкцию и отрицание, или через дизъюнкцию и отрицание, или через импликацию и отрицание, или даже через единственную операцию антиконъюнкцию ("штрих Шеф-фера"), т. е. все эти семейства логич. связок представляют собой функционально полные классы операций алгебры логики.
Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная П. (д. п.) аксиоматич. теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет "дедуктивная" обычно опускают). В зависимости от выбора критерия "достаточности" дедуктивных средств теории (или формального исчисления) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматич. система наз. (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. ("в широком смысле"), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. ("в узком смысле") определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта ("абсолютная") П., вообще говоря, сильнее семантич. П.: напр., исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.
Неполные (или, как часто говорят, некатегоричные) системы аксиом, допускающие существенно различные и притом неизоморфные интерпретации (напр., теория групп в абстрактной алгебре или теория топологических пространств"), представляют особый интерес именно богатством и разнообразием своих приложений (это обусловливается различными путями "пополнения" теории за счёт присоединения различных аксиом). Но ещё более важно то, что (как установил в 1931 К. Гёделъ) для достаточно богатых аксиоматич. теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств) требования д. п. и непротиворечивости оказываются несовместимыми. Это поразительное открытие составило целую эпоху в развитии матем. логики, привело к осознанию принципиальной ограниченности играющего в ней большую роль аксиоматического метода и стимулировало поиски новых, более гибких в известном смысле, логич. и логико-матем. теорий и новых дедуктивных средств.
См. также ст. Доказательство и лит. при ней.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 29, 32, 42, 72 (лит.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959, гл. 2, § 10, гл. 3, § 7, гл. 4, §§ 17, 19.
ПОЛНОЦЕННАЯ МОНЕТА, см. в ст. Деньги, Монета.
ПОЛНОЧЬ, момент, когда для данного места на Земле центр Солнца (истинного или т. н. среднего) находится в нижней кульминации. Прохождению через меридиан истинного Солнца соответствует истинная П., прохождению среднего Солнца - средняя П. (см. Время). Время наступления П. зависит от геогр. долготы места: через каждые 15° к 3. П. наступает на 1 ч позднее. Для средней П. на меридиане Гринвича, от к-рой отсчитывается т. н. всемирное время, вычисляются все данные астроно-мич. ежегодников.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ, функции f(x, y,z, ...) нескольких независимых переменных - выражение
[2016-10.jpg]
См. Дифференциальное исчисление, Дифференциал.
2017.htm
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА, логика, в к-рой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение "А - ложно" есть лишь иная форма выражения "не-А", в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу к-рых относятся приёмы косвенных доказательств, в т. ч. доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа ] А = df А ) =i )f, где ] -знак отрицания, ) -импликация, a f - пропозициональная переменная или к.-л. "допустимое" абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.
Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из к-рых важнейшими являются положительное имплика-тивное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквивален-цией.
Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем:
[2017-1.jpg]
Более сильные логич. исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
[2017-2.jpg]
или соответствующего ей правила reduc-tio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Йохансона (1936). Присоединяя к последней схему
[2017-3.jpg]
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
[2017-4.jpg]
{исключённого третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и клас-сич. логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как "частичные системы". Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые "сами по себе", и "те же" исчисления "внутри" более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логич. связок (операций), к-рая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 11, §§ 2 - 6. М. М. Новосёлов.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЁННАЯ ФОРМА, выражение вида
[2017-5.jpg]
где aik = аki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x1, x2, ..., хп и обращающееся в нуль лишь при x1 = х2 = ... = хп = 0. Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма спец. типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду
[2017-6.jpg]
Для того чтобы
[2017-7.jpg]
В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма
[2017-8.jpg]
для любой функции g (х) с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции - такой функции f(x), что ядро К (х, у) = f(x - у) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f(x) с f(0) = 1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА, относительно повышенные (выпуклые) неровности земной поверхности, лежащие выше среднего гипсометрического (батиметрич.) уровня прилегающей области суши (напр., горный хребет, возвышенность) или морского дна.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, числа, большие нуля; см. Число.
ПОЛОЗЫ (Coluber), род змей сем. ужей. Дл. до 2,4 л. Верхняя сторона тела обычно одноцветная, иногда с тёмными полосами и пятнами, нижняя - светлее. Молодые П. окраской часто отличаются от взрослых. Ок. 30 видов, распространены в Юж. Европе, Азии, в Сев. и Вост. Африке, в Сев. и частично Центр. Америке. В СССР - 6 видов; 3 из них: краснополосый П. (С. rho-dorhachis), поперечнополоса-т ы и П. (С. karelini) и тонкий (С. spinalis) - встречаются в Ср. Азии и Казахстане; разноцветный П. (С. ravergieri) и оливковый (С. najadum) - в Ср. Азии и на Кавказе; желтобрюхий П. (С. jugularis) -в Европ. части СССР, на Кавказе и на Ю. Туркмении. П. обитают в степях, полупустынях, пустынях, а также в лесистых местах на равнинах и в горах (напр., разноцветный П.- на высоте до 2500 м). П. очень подвижны. Питаются преим. мышевидными грызунами, ящерицами, птенцами и небольшими птицами; молодые - насекомыми. Большинство ловит добычу, хватая её зубами и сжимая затем кольцами тела или прижимая к земле. Все П. яйцекладущи. Самка откладывает до 25 яиц. Укус П., как и др. змей сем. ужей, для человека безопасен, но может быть болезнен. Иногда "П." наз. также змей близких родов Elaphe, Ptyas и нек-рых др.
< |
