Главная страница
ПОЛЯРИЗАЦИЯ (франц. polarisation, первоисточник: греч. polos - ось, полюс) биоэлект р и ческа я, возникновение двойного электрич. слоя на границе между наружной средой и содержимым живой клетки....
ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИЙ ДОХОД
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫЙ КАПИТАЛ, функциональная форма и вторая стадия кругооборота пром. капитала (см. Кругооборот капитала). В отличие от денежного капитала и товарного капитала, занятых в сфере обращения, П. к. занят в сфере произ-ва....
ПУЛЬСАРЫ
РАДИОВЕЩАТЕЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК, радиоприёмник, предназначенный для приёма программ звукового вещания и их акустич. воспроизведения. В СССР выпускаются Р. п., позволяющие принимать передаваемые радиовещат. станциями амплитудно-модулированные (AM) сигналы...
Поиск
РАЗРЫВ ДИПЛОМАТИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ, прекращение нормальных дипломатич. отношений между двумя гос-вами; влечёт за собой отозвание дипломатич. представителей и ликвидацию дипломатич. представительств. Р. д. о. обычно происходит вследствие возникновения между гос-вами состояния войны...
БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь
Термины:
РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .
Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.
Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я
8406202 9216 1210 912 1ости координат точек X, Y. Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точки А могут быть введены координаты х1,...,хnтак, что расстояние между точками X, Y, близкими к А, выражаются формулой
[2208-3.jpg]
когда X, Y приближаются к А. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками (хi) и (xi+dxi), или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением
[2208-4.jpg]
(здесь коэффициенты gij = дij(х1, ..., хn) суть функции координат), к-рое наз. линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространство R можно аналитически определить как re-мерное многообразие, в к-ром в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма
[2208-5.jpg]
(она наз. также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрич. формы, однако её величина (вследствие своего геометрич. смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат должна оставаться неизменной :
[2208-6.jpg]
Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов gij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление); он наз. метрическим тензором риманова пространства.
Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется т. н. касательное евклидово пространство ЕA, в к-рое отображается нек-рая окрестность U точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А. Аналитически это сводится к введению вблизи нек-рой точки А0пространства ЕA таких координат, что в них квадрат линейного элемента ds20 евклидова пространства ЕAвыражается в точке АО такой же формой суммаi,jgij(А)dxidxj, какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2 в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.
Простейшие понятия римановой геометрии. 1)Длина дуги s кривой xi - xi(t) (ii=1, . . ., п, t1=[2208-7.jpg]
вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин "малым масштабом", как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние р (Х, У) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и наз. внутренней метрикой риманова пространства R.
2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.
3) О б ъ ё м V n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:
[2208-8.jpg]
Геодезические. Линии, к-рые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, наз. геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала
[2208-9.jpg]
(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:
[2208-10.jpg]
где Гijk - т. н. Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты мет-рич. тензора gijи их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутр. расстоянию р (А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (напр., полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).
Представляет интерес (для описания периодич. движений в механич. задаче многих тел, например) оценка числа v замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с нек-рыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: v>=2, если R односвязно.
Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности V нек-рой точки А можно установить такое соответствие, при к-ром оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при к-ром длины дуг геодезических и соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты х1, . . ., хn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и ds0евклидова пространств будет такая связь:
[2208-11.jpg]
Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlkiхарактеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами т. н. тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по сформуле
[2208-12.jpg]
лишь через gik и их производные до второго порядка.
Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).
Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности ULв евклидово пространство EL, при к-ром оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве ELназ. развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi(f) определяется дифференциальным уравнением
[2208-13.jpg]
определить как кривые, вдоль к-рых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой АВ, вдоль к-рой происходит перенесение,- в этом отсутствии "абсолютного параллелизма" наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.
Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку М' и образует там угол ср с касательной к L в точке М; пусть s - длина дуги ММ' кривой L. При стремлении М' к М существует предел
[2208-14.jpg]
к-рый и наз. геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой хi = xi(s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:
[2208-15.jpg]
таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.
Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т. д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.
Риманова кривизна. Пусть М - точка риманова пространства, F - двумерная поверхность xi = xi(u, v), проходящая через М, L - простой замкнутый контур на F, проходящий через М, а - площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор аi, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы дхi/дu, дхi/дv) перенесён параллельно по L.
Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к аi на угол ф (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел
[2208-16.jpg]
наз. кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы д
вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин "малым масштабом", как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние р (Х, У) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и наз. внутренней метрикой риманова пространства R.
2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.
3) О б ъ ё м V n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:
[2208-8.jpg]
Геодезические. Линии, к-рые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, наз. геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала
[2208-9.jpg]
(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:
[2208-10.jpg]
где Гijk - т. н. Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты мет-рич. тензора gijи их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутр. расстоянию р (А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (напр., полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).
Представляет интерес (для описания периодич. движений в механич. задаче многих тел, например) оценка числа v замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с нек-рыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: v>=2, если R односвязно.
Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности V нек-рой точки А можно установить такое соответствие, при к-ром оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при к-ром длины дуг геодезических и соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты х1, . . ., хn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и ds0евклидова пространств будет такая связь:
[2208-11.jpg]
Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlkiхарактеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами т. н. тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по сформуле
[2208-12.jpg]
лишь через gik и их производные до второго порядка.
Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).
Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности ULв евклидово пространство EL, при к-ром оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве ELназ. развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi(f) определяется дифференциальным уравнением
[2208-13.jpg]
определить как кривые, вдоль к-рых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой АВ, вдоль к-рой происходит перенесение,- в этом отсутствии "абсолютного параллелизма" наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.
Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку М' и образует там угол ср с касательной к L в точке М; пусть s - длина дуги ММ' кривой L. При стремлении М' к М существует предел
[2208-14.jpg]
к-рый и наз. геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой хi = xi(s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:
[2208-15.jpg]
таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.
Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т. д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.
Риманова кривизна. Пусть М - точка риманова пространства, F - двумерная поверхность xi = xi(u, v), проходящая через М, L - простой замкнутый контур на F, проходящий через М, а - площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор аi, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы дхi/дu, дхi/дv) перенесён параллельно по L.
Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к аi на угол ф (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел
[2208-16.jpg]
наз. кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы д