БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8406202921612109121>0 - параметры).

Р. случайных величин не исчерпываются дискретным и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно иметь такое описание Р., к-рое было бы пригодно во всех случаях. Это описание может быть достигнуто, напр., при помощи т. н. функции распределения Fx (х). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно вероятности Р{Х<х} того, что случайная величина х примет значение, меньшее х, т. е.
[21341-9.jpg]

Функция Р. есть неубывающая функция х, изменяющаяся от 0 до 1 при изменении х от - бесконечности до + бесконечности. Вероятность того, что X примет значение из нек-рого полуинтервала [а, b), равна вероятности того, что X будет удовлетворять неравенству a =< X < b, т. е. равна

F(b) - F(a).

Примеры. 1) Пусть Е - нек-рое событие, вероятность появления к-рого есть р, где 0<р<1. Тогда число м появлений события Е при п независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения т = 0, 1, 2, ..., п с вероятностями
[21341-10.jpg]

Это Р. носит название биномиального распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и б) при больших п близко к нормальному в силу Лапласа теоремы.

[21341-11.jpg]

Рис. 1. Биномиальное распределение: а - вероятности рт = Сmn рт qn-m; б -функция распределения (п = 10, р =
0,2). Гладкими кривыми изображено нормальное приближение биномиального распределения.

2) Число наблюдений до первого появления события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все целые значения т = 1, 2, 3, ... с вероятностями

Рт = qm-1 р.

Это Р. носит название геометрического, т. к. последовательность {рт} есть геометрич. прогрессия (см. рис. 2, а и б).
[21341-12.jpg]

Рис. 2. Геометрическое распределение: а - вероятности рт = qm-1p; б - функция распределения (р = 0,2).

3) Р., плотность к-рого р(х) равна 1/2h на нек-ром интервале (a - h, a + h) и равна нулю вне этого интервала, носит название равномерного распределения. Соответствующая функция Р. растёт линейно от 0 до 1 при изменении х от а - h до а + h (см. рис. 3, а и б).

Дальнейшие примеры Р. вероятностей см. в статьях Кошм распределение, Пирсона кривые, Полиномиальное распределение, Показательное распределение, "Хи-квадрат" распределение, Стьюдента распределение.

[21341-13.jpg]

Рис. 3. Равномерное распределение: а -плотность вероятности; 6 - функция распределения.

Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y = f(X), где f(x) - заданная функция. Тогда Р. Y может быть довольно просто выражено через Р. X. Напр., если X имеет нормальное Р. и Y = еx, то Y имеет т. н. логарифмически-нормальное распределение с плотностью (см. рис. 4)

[21341-14.jpg]
Рис. 4. Плотность логарифмически-нормального распределения (m = 2, o = 1).

[21341-15.jpg]

Формулы, связывающие Р. величин X и Y, становятся особенно простыми, когда У = аХ + b, где а и b - постоянные. Так, при а>0
[21341-16.jpg]

Часто полное описание Р. (напр., при помощи плотности или функции Р.) заменяют заданием небольшого числа характеристик, к-рые указывают или на наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины, или на степень рассеяния значений случайной величины около нек-рого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математич. ожидание ЕХ случайной величины X, имеющей дискретное Р., определяется как сумма ряда
[21341-17.jpg]

при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Для случайной величины X, имеющей Р. непрерывного типа с плотностью Рх(х), математич. ожидание определяется формулой
[21341-18.jpg]

при условии, что написанный интеграл сходится абсолютно. Если Y = f(X), то ЕУ может быть вычислено двумя способами. Напр., если X и Y имеют непрерывное Р., то, с одной стороны, по определению
[21341-19.jpg]

с другой стороны, можно показать, что
[21341-20.jpg]

Дисперсия DX определяется как
[21341-21.jpg]

т. е., напр., для непрерывного Р.
[21341-22.jpg]

Р. вероятностей имеют много общего с Р. к.-л. масс на прямой. Так, случайной величине X, принимающей значения x1, х2, ..., хп с вероятностями р1, р2, ..., рп, можно поставить в соответствие Р. масс, при к-ром в точках хk размещены массы, равные pk. При этом формулы для ЕХ и DX оказываются совпадающими с формулами, определяющими соответственно центр тяжести и момент инерции указанной системы материальных точек. Подробнее о числовых характеристиках Р. см. в статьях Квантиль, Медиана, Мода, Математическое ожидание, Вероятное отклонение, Дисперсия, Квадратичное отклонение.

Если складываются неск. независимых случайных величин, то их сумма будет случайной величиной, Р. к-рой зависит только от Р. слагаемых (чего не будет, как правило, при сложении зависимых случайных величин). При этом, напр., для случая двух слагаемых, каждое из к-рых имеет Р. непрерывного типа, имеет место формула:
[21_500-1.jpg]

В весьма широких предположениях Р. суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых приближается к нормальному Р. или к др. предельным Р. (см. Предельные теоремы теории вероятностей). Однако для установления этого факта явные формулы типа (*) практически непригодны, поэтому доказательство ведётся обходным путём, обычно с использованием т. н. характеристических функций.

Статистические распределения и их связь с вероятностными. Пусть произведено п независимых наблюдений случайной величины X, имеющей функцию P. F(x). Статистич. Р. результатов наблюдений задаётся указанием наблюдённых значений x1, х2, ..., хr случайной величины X и соответствующих им частот h1, h2, ..., hr (т. е. отношений числа наблюдений, в к-рых появляется данное значение, к общему числу наблюдений). Напр., если при 15 наблюдениях значение 0 наблюдалось 8 раз, значение 1 наблюдалось 5 раз, значение 2 наблюдалось 1 раз и значение 3 наблюдалось 1 раз, то соответствующее статистич. Р. задаётся табличкой:

Наблюдённые значения хт


0


1


2


3
Соответствующие частоты hm


8/15


1/3


1/15


1/15

Частоты всегда положительны и в сумме дают единицу. С заменой слова "вероятность" на слово "частота" к статистич. Р. применимы мн. определения, данные выше для Р. вероятностей. Так, если x1, х2, ..., хr - наблюдённые значения X, a h1, h2, ..., hr - частоты этих наблюдённых значений, то соответствующие статистич. Р. среднее и дисперсия (т. н. выборочное среднее и выборочная дисперсия) определяются равенствами
[21_500-2.jpg]

а соответствующая функция Р. (т. н. эмпирическая функция распределения) - равенством

F*(x) = пх/n,

где пx - число наблюдений, результат к-рых меньше х. Статистич. Р. и его характеристики могут быть использованы для приближённого представления теоретич. Р. и его характеристик. Так, напр., если X имеет конечные математич. ожидание и дисперсию, то, каково бы ни было е>0, неравенства
[21_500-3.jpg]

выполняются при достаточно большом п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Т. о., x и s2 суть состоятельные оценки для ЕХ и DX соответственно (см. Статистические оценки). Сов. математик В. И. Гливенко показал, что при любом ?>0 вероятность неравенства

|F*n(x)-F(x)| < e

при всех х стремится к единице при п, стремящемся к бесконечности. Более точный результат установлен сов. математиком А. Н. Колмогоровым; см. об этом Непараметрические методы в математической статистике.

Многомерные распределения. Пусть X и У - две случайные величины. Каждой паре (X, У) можно отнести точку Z на плоскости с координатами X и У, положение к-рой будет зависеть от случая. Совместное Р. величин X и У задаётся указанием возможных положений точки Z и соответствующих вероятностей. Здесь также можно выделить два осн. типа Р.

1)Дискретные распределения. Возможные положения точки Z образуют конечную или бесконечную последовательность. Р. задаётся указанием возможных положений точки Z

Z1, Z2, ..., Zn, ... и соответствующих вероятностей p1, p2, ..., рn, ...

2) Непрерывные распределения задаются плотностью вероятности р (х, у), обладающей тем свойством, что вероятность попадания точки Z в к.-л. область G равна
[21_500-4.jpg]

Пример: двумерное нормальное Р. с плотностью
[21_500-5.jpg]

где
[21_500-6.jpg]

-математич. ожидания и дисперсии величин X и У,
[21_500-7.jpg]

и R - коэфф. корреляции величин X и У:
[21_500-8.jpg]

Аналогично можно рассматривать Р. вероятностей в пространствах трёх и большего числа измерений. О многомерных Р. см. также Корреляция, Регрессия.

О возможности дальнейших обобщений и о связи между понятием меры множества и понятием Р. см. Вероятностей теория.

Лит.: Гнеденк