БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8406202921612109121нное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теорети-кочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963. В.И.Лебедев.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ дифференциальных уравне-н и и, получение аналитич. выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью к-рых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на нек-ром шаге процесса.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Напр., пусть требуется найти решение дифференциального уравнения у' - f(x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (x0) = yо, причём известно, что f (x, у) - аналитич. функция х, у в нек-рой окрестности точки (хо, уо). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
[2039-24.jpg]

Коэффициенты Ak, ряда могут быть найдены либо по формулам:
[2039-25.jpg]

либо с помощью неопределённых коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х- х0.

Часто (напр., при изучении периодич. движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение осн. уравнения можно искать в виде ряда, первым членом к-рого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (напр., при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретич. обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при нек-рых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, напр., метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

Поясним эти методы на примере уравнения y' = f(x, y) с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в нек-рой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х - х0.Осн. характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения. Осн. идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у(х) в точках x1, х2, ..., хпнек-рого фиксированного отрезка [хо, b]. Так, для того чтобы вычислить y(x1), где x1= хо + h, h = (b - хо)/п,
представляют y(x1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = x1 - хо. Напр., ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у(хk) формулы:
[2039-26.jpg]

Это т. н. метод ломаныхЭйле-ра (на каждом отрезке [хk, хk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.

В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f(x, у) в нек-рых точках, к-рая даёт с определённой точностью неск. первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Напр., правая часть формулы Рунге:
[2039-27.jpg]

даёт первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5. В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной
[2039-28.jpg]

Примером разностной формулы П. р. является экстраполяц. формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности" 3-го порядка:
[2039-29.jpg]

даёт решение у(х) в точке хkс точностью до величин порядка h4.

Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
[2039-30.jpg]

особенно удобную для решения уравнений вида у" = f(x, у). По этой формуле находят Д2yn-1, а затем yn+1 = = уп + Дyn+1 + Д2yn-1. Найдя уп+1 вычисляют y"n+1= f(xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.

Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитич. и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в нек-рых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1955.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, вычисления, в к-рых данные и результат (или по крайней мере только результат) являются числами, лишь приближённо представляющими истинные значения соответствующих величин. П. в. возникают в связи с численным решением задач и обусловлены неточностями, к-рые присущи формулировке задачи и способам её решения. Общие правила и теорию методов П. в. принято называть численными методами.

ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ, математические формулы, получаемые из формул вида f(x) = f*(x) + e(x), где Е (х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Таким образом, П. ф. имеет вид f(x) ~ f*(x).

[2039-31.jpg]

Напр., П. ф. (1 + x)2 ~= 1 + 2x получается из точной формулы для (1 + x)2 при малых | х |; этой формулой можно пользоваться при вычислении с точностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если | х | соответственно не больше 0,0707..., 0,0223 ..., 0,00707... Эта П. ф. даёт результат тем более точный, чем „т ближе к 0. Но так бывает не всегда. Напр., точ-
[2039-32.jpg]

Выше (стр. 555) приведено неск. наиболее употребительных П. ф., причём показано, какого числа не должно превосходить |х|, чтобы формула давала k точных десятичных знаков.

Часто П. ф. получают с помощью разложения функций в ряды, напр. в ряд Тейлора. Чтобы уверенно применять П. ф., необходимо иметь оценку разности между точным и приближённым выражениями функции. Зная, напр., что раз-
[2039-33.jpg]

ностью до сотых, тысячных, десятитысячных, если х соответственно меньше 0,89 (51°), 0,55 (32°), 0,34 (20°).

ПРИБОЙ, явление разрушения морской (озёрной) волны, происходящее в результате разбивания волн непосредственно у берега, при этом колебательные движения воды сменяются возвратно-поступательным движением прибойного потока. П.- основной фактор разрушения абразионных берегов и образования пляжей, сопровождаемый перемещением наносов на пляжах на аккумулятивных берегах.

ПРИБОЙ в ткачестве, продвижение уточной нити вдоль основы к опушке (краю) ткани. Одна из осн. операций при формировании ткани на ткацком станке. Наиболее распространённый рабочий орган для П.- бердо, перемещающее уточную нить одновременно по всей ширине основы. П. на нек-рых станках осуществляется непрерывно с помощью прижимов-уплотнителей утка (круглоткацкий станок), профилированных дисков (многозевные ткацкие машины).

"ПРИБОЙ", легальное большевистское изд-во, создано в нояб. 1912 в Петербурге во время "страховой кампании" (1912-1914), с 1913 начало выпуск лит-ры по вопросам социального страхования рабочих; с июля 1913 стало изд-вом ЦК РСДРП, по указанию к-рого гл. внимание уделяло изданию политич. агитационно-пропагандистской лит-ры по вопросам рабочего движения. Вышли сборники: "Марксизм и ликвидаторство" со статьями В. И. Ленина, "Страхование рабочих в России и на Западе" (2-й и 3-й выпуски