БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

РАСШИРЯЮЩИЙСЯ ЦЕМЕНТ, собирательное назв. группы цементов.
РЕЛАКСАЦИЯ МАГНИТНАЯ, один из этапов релаксации - процесс установления.
РЕЧНОЙ ШТАТ (Rivers State), штат на Ю. Нигерии.
САХАРОВ Андрей Дмитриевич (р. 21.5. 1921, Москва), советский физик, акад. АН СССР.
СЕЙСМИЧЕСКОЕ МИКРОРАЙОНИРОВАНИЕ, раздел инженерной сейсмологии.
СЕРОВОДОРОД, H2S, то же, что сернистый водород.
СИМАБАРСКОЕ ВОССТАНИЕ, крупнейшее крест. восстание в Японии.
СКАФАНДР (франц. scaphandre, от греч. skaphe - лодка и апёг, род. падеж andros - человек).
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, функция от функции.
Раздача продуктов голодающим. Самара. 1921. .


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

8406202921612109121освящённый изучению вопросов приближённого представления функций.

Приближение функций -нахождение для данной функции f функции g из нек-poro определённого класса (напр., среди алгебраич. многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и д. Интерполирование функций - частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции д, а в более общем случае - и значения нек-рых их производных.

Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции д используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р-й степенью, LP, р>=1, в к-рых расстояние между функциями f и gопределяется (для функций, заданных на отреяке [a, b] по формулам
[2039-1.jpg]

Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида
[2039-2.jpg]

где ф1, ...,фn-заданные функции, а а1 ..., аn - произвольные числа. Обычно это алгебраич. многочлены
[2039-3.jpg]

или тригонометрич. полиномы
[2039-4.jpg]

Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собственным функциям краевых задач и т. п. Другим классич. средством приближения являются рациональные дроби P(x)/Q(x), где в качестве Р и О берутся алгебраич. многочлены заданной степени.

В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значит. развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубич. сплайн-функции, определяемые след, образом. Отрезок [а, b] разбивается точками а = х0<х1<...<хn= b, на каждом отрезке [xK, xk-n] кубическая сплайн-функция является алгебраич. многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, напр., для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах хk приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов xkи правильного их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислит. математике, с их помощью удалось решить также нек-рые задачи теории функций.

Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрич. пространствах.

Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из осн. понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f(x)
[2039-5.jpg]

где минимум берётся по всем числам a1, . . ., аn. Полином, для к-рого достигается этот минимум, наз. полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xn+1на отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраич. многочленами степени п равно 1/2n а многочлен наилучшего приближения таков, что для него
[2039-6.jpg]

След. теорема Чебышева указывает характеристич. свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраич. мно-
[2039-7.jpg]

мает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно к-рой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраич. многочленами достаточно высокой степени.

С нач. 20 в. началось систематич. исследование поведения при п -> БЕСКОНЕЧНОСТЬ последовательности En(f) - наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрич.) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин En(f) в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.

Для того чтобы функция f была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в нек-рой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраич. многочленами выполнялась оценка
[2039-8.jpg]

где q<1 и Л - нек-рые положительные числа, не зависящие от п (теорема С. Н. Бернштейна).

Для того чтобы функция f периода 2п имела производную порядка r, r -= 0, 1, 2, . . . , удовлетворяющую условию

|f(r)> (x + h) - f(r) (x) | <=M | h |a, 0 < а < 1, М - нек-рое положительное число, или условию

[2039-9.jpg]

(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрич. полиномами была справедлива оценка
[2039-10.jpg]

где А - нек-рое положительное число, не зависящее от п. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш. Ж. Ла Балле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближений алгебраич. многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

Для приближений в метрике L2полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f к g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Напр., для перио-дич. функции f(x) можно брать частные суммы её ряда Фурье Sn(f, x). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега)
[2039-11.jpg]

где Ln - числа, растущие при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ как (4/п2)lnn. Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы Sn(f) доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрич. полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраич. многочленами на от-
[2039-12.jpg]

k = 1, 2, ..., п, т. е. в нулях полинома Чебышева cos п arc cos x. Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяц. полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений -задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций ф1, . . ., фn, для к-рой наилучшие приближения функций заданного класса

[2039-13.jpg]

меньшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, напр., что -для ряда важных классов периодич. функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрич. полиномы.

Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислит. математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал "Journal of Approximation Theory".

См. также Приближение ф