| 8406202 9216 1210 912 1яющее определённым условиям (так называемое разложение единицы, отвечающее оператору А). Изучение С. р. и их возможных обобщений для различных типов линейных операторов составляет основное содержание спектрального анализа линейных операторов.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Наиболее известный класс С. р. случайных функций - представления стационарных случайных процессов X (t) в виде интеграла Фурье - Стилтьеса
[2421-2.jpg]
где Z([$\lambda$]) - случайная функция с некоррелированными приращениями. Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный процесс всегда можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонич. колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармо нич. колебаний га-мерными плоскими волнами, имеет место и для однородных случайных полей в га-мерном пространстве. Другой тип С. р. случайных функций - это разложение случайного процесса X(t). заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t), заданной на ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида
[2421-3.jpg]
где [$\varphi$]k(t) и [$\lambda$]k - собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) Х(t), a Zk, k = 1,2,...,- последовательность попарно некоррелированных случайных величин единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой преобразований, отличных от евклидова пространства.
Лит.: Я г л ом A. M., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.: Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250-73; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, M., 1971. А.М.Яглом.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора (напр., конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным случаем С. р. является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонич. анализ колебаний), а также разложения по другим известным полным системам функций. В случае линейного оператора А, имеющего непрерывный спектр, собственные функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не менее и здесь весьма часто удаётся определить эти функции (но только они уже не будут являться элементами того функционального пространства, в к-ром действует оператор Л) и задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента (пример С. р. этого типа - разложение в Фурье интеграл). Для несамосопряжённых операторов А наряду с собственными функциями приходится рассматривать ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям; однако и для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся доказать теорему о полноте системы всех собственных и присоединённых функций и, исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным собственным и присоединённым функциям оператора А.
С. р. функций широко используются для решения различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных уравнений и находят многочисленные приложения в задачах классической механики (особенно теории колебаний), электродинамики, квантовой механики, теории связи, теории автоматического управления и других разделах математической физики и прикладной математики.
Лит.: Березанский Ю. M., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1 - 2, M., 1960 - 61; H а и м а р к M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; Л е в и т а н Б. M., С а р ГОН н И. С., Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), M., 1970.
A. M. Яглом.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, узкие участки в спектрах оптических, каждый из к-рых можно охарактеризовать определённой длиной волны [$\lambda$] (или частотой
[$\nu$]= c/[$\lambda$], где с - скорость света). С. л.
наблюдаются в спектрах испускания как светлые (цветные) линии на тёмном фоне, в спектрах поглощения - как тёмные линии на светлом фоне (см. рис. на вклейке к стр. 305). Каждая С. л. соответствует определённому квантовому переходу в атоме (молекуле, кристалле). С. л. не являются строго монохроматичными: каждая С. л. имеет нек-рую ширину [$\Delta$][$\lambda$] (см. Ширина спектральных линий).
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ, приборы для исследования спектрального состава по длинам волн электромагнитных излучений в оптич. диапазоне (10-3 - 103 мкм', см. Спектры оптические), нахождения спектральных характеристик излучателей и объектов, взаимодействовавших с излучением, а также для спектрального анализа. С. п. различаются методами спектрометрии, приёмниками излучения, исследуемым (рабочим) диапазоном длин волн и др. характеристиками.
Принцип действия большинства С. п. можно пояснить с помощью имитатора, изображённого на рис. 1. Форма отвер-
Рис. 1. Результат измерений F([$\lambda$]) исследуемого спектра f([$\lambda$]) прибором с аппаратной функцией [$\alpha$]([$\lambda$] -[$\lambda$]' ) описывается интегралом F([$\lambda$])= инт. а ([$\lambda$] - [$\lambda$]') f([$\lambda$])d[$\lambda$], называемым свёрткой функции f с функцией а. Процесс свёртки можно имитировать изменением площади отверстия при относительном перемещении (сканировании) экранов 1 и 2. Чем меньше ширина [$\delta$][$\lambda$] функции а([$\lambda$] - [$\lambda$]'), тем точнее прибор передаёт истинный контур f([$\lambda$]). Тождество F([$\lambda$]) = f([$\lambda$]) достигается лишь при бесконечно узкой аппаратной функции ([$\delta$][$\lambda$] -> 0).
стия в равномерно освещённом экране / соответствует функции f([$\lambda$]), описывающей исследуемый спектр - распределение энергии излучения по длинам волн [$\lambda$]. Отверстие в экране 2 соответствует функции а([$\lambda$] - [$\lambda$]'), описывающей способность С. п. выделять из светового потока узкие участки [$\delta$][$\lambda$] в окрестности каждой [$\lambda$]'. Эту важнейшую характеристику С. п. наз. функцией пропускания, или аппаратной функцией (АФ). Процесс измерения спектра f([$\lambda$]) прибором с АФ [$\alpha$]([$\lambda$] - [$\lambda$]') можно имитировать, регистрируя изменения светового потока, проходящего через отверстие, при перемещении (сканировании) экрана 2 относительно экрана /. Очевидно, чем меньше ширина АФ, тем точнее будет измерена форма контура спектра f([$\lambda$]), тем более тонкая структура может быть в нём обнаружена.
Ширина АФ наряду с рабочим диапазоном [$\lambda$] является осн. характеристикой С. п.; она определяет спектральное разрешение [$\delta$][$\lambda$] и спектральную разрешающую способность R = [$\lambda$]/[$\delta$][$\lambda$]. Чем шире АФ, тем хуже разрешение (и меньше R), но больше поток излучения, пропускаемый прибором, т. е. больше оптич. сигнал и M - отношение сигнала к шуму. Шумы (случайные помехи), неизбежные в любых измерит, устройствах, в общем
случае пропорциональны корень(f) ([$\Delta$]f - полоса пропускания приёмного устройства). Чем шире [$\Delta$]f, тем выше быстродействие прибора и меньше время измерения, но больше шумы (меньше M). Взаимосвязь величин R, M, [$\Delta$]f определяется соотношением:
RаM ([$\Delta$]f)[$\beta$] = К ([$\lambda$]). (1)
Показатели степени ос и [$\beta$] принимают различные положит, значения в зависимости от конкретного типа С. п. Константа К, зависящая только от [$\lambda$], определяется конструктивными параметрами данного типа С. п. и накладывает ограничения на величины R, M, [$\Delta$]f. Кроме того, возможные значения R ограничиваются дифракцией света, аберрациями оптических систем, а значения [$\Delta$]f - инерционностью приёмно-регистрирующей части С. п.
Рассмотренный с помощью рис. 1 принцип действия С. п. относится к однока-нальным методам спектрометрии. Наряду с ними широко распространены многоканальные методы, в к-рых сканирование не применяется и излучения различных [$\lambda$] регистрируются одновременно. Это соответствует наложению на экран 1 неподвижного экрана с вырезанными N контурами АФ для разных [$\lambda$] при независимой регистрации потоков от каждого отверстия (канала).
Общая классификация методов спектрометрии, являющихся основой различных схем и конструкций С. п., представлена на рис. 2. Классификация дана по двум осн. признакам - числу каналов и фи |
