| 8406202 9216 1210 912 1 множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения.
Рис. 6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на нек-рый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.
Рис. 7. Орнамент; осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.
Комбинации С., порождённые отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрич. фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Напр., винтовая С., осуществляемая поворотом на нек-рый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии).
Рис. 8. Фигура, обладающая винтовой симметрией, к-рая осуществляется переносом вдоль вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°.
С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физич. и химич. характеристиках, имеет значение при теоретич. анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрич. С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физ. пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. сохранения законы; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).
3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Напр., С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутр. строение объекта в целом и его частей.
Поскольку такой объект можно представить элементами нек-рого пространства Р, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований Р (или просто в Р), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физ. законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, к-рым удовлетворяют элементы пространства Р, определяется действием G на такие уравнения.
Так, напр., если нек-рое уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остаётся инвариантным при преобразованиях нек-рой группы G, то каждому элементу q из G соответствует линейное преобразование Тq в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие q->Тq является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во мн. случаях (из "соображений симметрии") и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.
Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М.- Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; В е и л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; В и г н е р Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.f М. И. Войцеховский.
СИММЕТРИЯ в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), к-рым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математич. отношении преобразования С. составляют группу.
Опыт показывает, что физ. законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.
Непрерывные преобразования
1)Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физ. системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта.
С. физ. законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве к.-л. выделенных точек (однородность пространства).
2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физ. законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).
3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времен и). С. относительно этого преобразования означает, что физ. законы не меняются со временем.
4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (см. Относительности теория).
5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих к.-л. зарядом (электрическим зарядом, барионным зарядом, лептонным зарядом, гиперзарядом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:
[2326-8.jpg]
где
- волновая функция частицы j.
[2326-10.jpg]
- комплексно сопряжённая ей функция, zj - соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (напр., элементарного электрич. заряда е), В(бетта) - произвольный числовой множитель.
Наряду с этим электромагнитные взаимодействия симметричны относительно калибровочных (градиентных) преобразований 2-го рода для потенциалов электромагнитного поля (А, ф(фи)):
[2326-11.jpg]
где f(x, у, z, t) - произвольная функция координат (x, у, z) и времени (t), с -скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной Р, являющейся произвольной функцией координат и времени:
[2326-12.jpg]
где h - Планка постоянная. Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрич. заряда: с одной стороны, электрич. заряд является сохраняющейся величиной, а с другой - он выступает как константа взаимодействия,
характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.
Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также нек-рым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрич. заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины 3 являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами, преобразующими состояния внутренней С.). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга - Милса теория).
6) Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий. Сильные взаимодействия симметричны относительно поворотов в особом "изотопическом пространстве". Одним из проявлений этой С. является зарядовая независимость ядерных сил, заключающаяся в равенстве сильных взаимодействий нейтронов с нейтронами, протонов с протонами и нейтронов с протонами (если они находятся соответственно в одинаковых состояниях). Изотопич. инвариантность является приближённой С., нарушаемой электромагнитными взаимодействиями. Она представляет собой часть более широкой приближённой С. сильных взаимодействий - SU(3)-C. (см. Сильные взаимодействия).
Дискретные преобразования
Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, к-рые могут непрерывно изменяться в нек-рой области значений (напр., сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот - тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие.
1) Пространственная инверсия (Р). Относительно этого преобразования симметричны процессы, вызванные сильным и электромагнитным взаимодействиями. Указанные процессы одинаково описываются в дв |
